Determinar as coordenadas dos pontos pertencentes a parábola y^2-8 x=0 tais que suas distâncias à diretriz seja igual a 4.

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y^2 - 8x = 0
e pede os pontos dessa curva cuja distância até a diretriz vale 4.
O conteúdo aqui é a definição da parábola em que cada ponto está à mesma distância do foco e da diretriz. Vamos precisar identificar a diretriz e usar a fórmula da distância de um ponto até uma reta vertical.

Passo 2

Reescrevendo em forma canônica, temos
y^2 = 8x,
logo 4p = 8 e portanto
p = 2
Para essa parábola com eixo horizontal, o foco é
F=(p,0)=(2,0)
e a diretriz é a reta
x = -p = -2

Passo 3

Seja (x,y) um ponto qualquer da parábola. A distância desse ponto até a diretriz x=-2 é dada por
l|x - (-2)r| = |x + 2|
Queremos que essa distância valha 4, ou seja,
|x + 2| = 4

Passo 4

Como na parábola y^2=8x o valor de x é sempre não negativo, temos x+2>=2>0 e podemos tirar o valor absoluto sem o sinal:
x + 2 = 4 Longrightarrow x = 2

Passo 5

Substituindo x=2 na equação da parábola:
y^2 = 8cdot 2 = 16 Longrightarrow y = pm 4

Resposta

As coordenadas dos pontos são (2,4) e (2,-4).

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