Determinar a equação reduzida da hipérbole de focos F1=(0,5) e F2=(0,-5) e vértices A1=(0,3) e A2=(0,-3).

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole cujos focos estão em F1=(0,5) e F2=(0,-5) e cujos vértices estão em A1=(0,3) e A2=(0,-3).
O conteúdo é a forma canônica de hipérbole com eixo transverso vertical, que tem equação
y^2a^2 ;-;x^2b^2 ;=;1
Para achar a (distância centro–vértice), c (distância centro–foco) e b (da relação c^2=a^2+b^2).

Passo 2

Identificamos o centro da hipérbole como o ponto médio dos vértices e dos focos, que é (0,0).
A partir dos vértices A1=(0,3) e A2=(0,-3), temos
a = 3

Passo 3

A partir dos focos F1=(0,5) e F2=(0,-5), deduzimos
c = 5

Passo 4

Usamos a relação característica da hipérbole
c^2 ;=;a^2 + b^2
para encontrar b. Substituindo a=3 e c=5, vem
5^2 = 3^2 + b^2 Longrightarrow 25 = 9 + b^2 Longrightarrow b^2 = 16

Passo 5

Substituindo a^2=9 e b^2=16 na forma canônica com eixo vertical, obtemos
y^29 ;-;x^216 ;=;1

Resposta

y^29 ;-;x^216 ;=;1

Exercícios relacionados