Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essa elipse: 18 x^2+7 y^2-108 x+28 y+64=0.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação geral da elipse
18x^2+7y^2-108x+28y+64=0
numa forma padrão, a fim de determinar o centro, os vértices, os focos, os comprimentos dos eixos maior e menor, a distância focal e a excentricidade. O conteúdo é identificação e redução de cônicas (elipse) via completamento de quadrado.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
18x^2-108x+7y^2+28y+64=0
18l(x^2-6xr)+7l(y^2+4yr)+64=0
Agora escrevemos
x^2-6x=(x-3)^2-9, y^2+4y=(y+2)^2-4,
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18l((x-3)^2-9r)+7l((y+2)^2-4r)+64=0

Passo 3

Distribuindo e isolando os quadrados:
18(x-3)^2-162+7(y+2)^2-28+64=0 Longrightarrow 18(x-3)^2+7(y+2)^2=126
Dividindo por 126:
(x-3)^2126/18+(y+2)^2126/7=1 Longrightarrow (x-3)^27+(y+2)^218=1

Passo 4

Da forma
(x-3)^27+(y+2)^218=1
vemos que o centro é (3,-2). Como 18>7, o eixo maior está na direção de y, com
a^2=18, b^2=7, a=raiz18=3raiz2, b=raiz7

Passo 5

Os vértices, que ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo maior (vertical), são
(3,,-2pm3raiz2)
Os co-vértices, a uma distância b ao longo do eixo menor (horizontal), são
(3pmraiz7,,-2)

Passo 6

A distância focal c satisfaz
c^2=a^2-b^2=18-7=11, c=raiz11

Passo 7

Os focos ficam também sobre o eixo maior:
(3,,-2pmraiz11)
A excentricidade é
e=ca=raiz113raiz2=raiz1118
O comprimento do eixo maior é 2a=6raiz2, do eixo menor é 2b=2raiz7, e a distância focal total é 2c=2raiz11.

Resposta

Centro: (3,-2)
Vértices: l(3,,-2pm3raiz2r)
Co-vértices: l(3pmraiz7,,-2r)
Focos: l(3,,-2pmraiz11r)
Eixo maior: 2a=6raiz2
Eixo menor: 2b=2raiz7
Distância focal: 2c=2raiz11
Excentricidade: e=raiztfrac1118

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