Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimentos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essa elipse:
.
Passo 1
O enunciado pede para transformar a equação geral da elipse
numa forma padrão, a fim de determinar o centro, os vértices, os focos, os comprimentos dos eixos maior e menor, a distância focal e a excentricidade. O conteúdo é identificação e redução de cônicas (elipse) via completamento de quadrado.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos quadrados:
Agora escrevemos
logo
Passo 3
Distribuindo e isolando os quadrados:
Dividindo por
:
Passo 4
Da forma
vemos que o centro é
. Como
, o eixo maior está na direção de
, com
Passo 5
Os vértices, que ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo maior (vertical), são
Os co-vértices, a uma distância
ao longo do eixo menor (horizontal), são
Passo 6
A distância focal
satisfaz
Passo 7
Os focos ficam também sobre o eixo maior:
A excentricidade é
O comprimento do eixo maior é
, do eixo menor é
, e a distância focal total é
.
Resposta
Centro:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Eixo maior:
Eixo menor:
Distância focal:
Excentricidade:
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Eixo maior:
Eixo menor:
Distância focal:
Excentricidade: