Determine as equações paramétricas e na forma simétrica para a reta.
Reta que passa por (1,-1,1) e é paralela à reta
x+2=12 y=z-3

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa pelo ponto (1,-1,1) e é paralela à reta dada na forma simétrica
x+2=12,y=z-3
O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3: vamos extrair o vetor diretor da reta dada e depois construir a nova reta usando o ponto e esse vetor.

Passo 2

Para achar o vetor diretor da reta dada, note que todas as três expressões valem um mesmo parâmetro, digamos lambda. Então
x+2=lambda, tfrac12,y=lambda, z-3=lambda
implica
x=lambda-2, y=2lambda, z=lambda+3
Assim, a forma paramétrica dessa reta é
(x,y,z) = (-2,0,3) + lambda,(1,2,1),
logo o vetor diretor é l(1,2,1r).

Passo 3

Como a reta que buscamos é paralela, ela tem o mesmo vetor diretor (1,2,1). E deve passar por (1,-1,1). Logo sua forma paramétrica é
(x,y,z) = (1,-1,1) + t,(1,2,1),
ou seja
x = 1 + t, y = -1 + 2t, z = 1 + t

Passo 4

Para passar à forma simétrica, isolamos t em cada equação:
t = x-1, t = y+12, t = z-1
Portanto a forma simétrica fica
x-11 = y+12 = z-11

Resposta

Equações paramétricas:
x = 1 + t, y = -1 + 2t, z = 1 + t, tinR
Forma simétrica:
x-1 = y+12 = z-1

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