Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
6 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}+24 x-6 y-12 z+39=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segunda ordem
6x^{2}+3y^{2}+2z^{2}+24x-6y-12z+39=0
que é uma quádrica. Para classificá-la e obter sua forma reduzida, vamos usar o método de completar quadrados em x, y e z.

Passo 2

Agrupamos termos em cada variável e isolamos a constante:
6\bigl(x^{2}+4x\bigr)+3\bigl(y^{2}-2y\bigr)+2\bigl(z^{2}-6z\bigr)+39=0.
Em seguida, completamos o quadrado em cada grupo:
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4,\quad y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1,\quad z^{2}-6z=(z-3)^{2}-9.

Passo 3

Substituindo esses resultados na equação principal:
6\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)+3\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)+2\bigl((z-3)^{2}-9\bigr)+39=0.
Expandindo e somando as constantes:
6(x+2)^{2}-24+3(y-1)^{2}-3+2(z-3)^{2}-18+39=0 \quad\Longrightarrow\quad 6(x+2)^{2}+3(y-1)^{2}+2(z-3)^{2}-6=0.
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6(x+2)^{2}+3(y-1)^{2}+2(z-3)^{2}=6 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x+2)^{2}}{1}+\frac{(y-1)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1.

Passo 4

A forma
\frac{(x+2)^{2}}{1}+\frac{(y-1)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1
é a equação reduzida de um elipsóide centrado em (-2,1,3). Os semi-eixos têm comprimentos
a=1,\quad b=\sqrt{2},\quad c=\sqrt{3}
ao longo das direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 5

Para esboçar, desenhe um elipsóide deslocado de centro (-2,1,3), com interceptos:
(x,y,z)=(-2\pm1,\,1,\,3),\;(-2,\,1\pm\sqrt{2},\,3),\;(-2,\,1,\,3\pm\sqrt{3}).

Resposta

A superfície é um elipsóide.
Equação reduzida:
\frac{(x+2)^{2}}{1}+\frac{(y-1)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1.

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