Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas definida por
e pede (i) a classificação do tipo de superfície, (ii) sua equação reduzida (forma canônica) e (iii) um esboço. O conteúdo necessário é completar quadrados para as variáveis
e
, isolar
e reconhecer o tipo de quádricas.
Passo 2
Agrupamos termos envolvendo
,
e
e isolamos
.
pode ser reescrita como
logo
Passo 3
Agora completamos os quadrados em
e
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto
Ou seja, em forma canônica:
Passo 5
A equação
é exatamente a forma de um paraboloide hiperbólico, pois há um termo quadrático positivo em
e um negativo em
, com
linear.
Passo 6
Para esboçar o paraboloide hiperbólico:
- A “sela” está centrada no ponto
. - Se fixamos
, então : curva parabólica voltada para . - Se fixamos
, então : curva parabólica voltada para .
No esboço, deslocamos o vértice para
e desenhamos as duas parábolas em planos perpendiculares, obtendo a forma de sela característica.
Resposta
A superfície é um paraboloide hiperbólico e sua equação reduzida é