Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
y^{2}-4 z^{2}-4 x-6 y-24 z-31=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas definida por
y^{2}-4 z^{2}-4 x-6 y-24 z-31=0
e pede (i) a classificação do tipo de superfície, (ii) sua equação reduzida (forma canônica) e (iii) um esboço. O conteúdo necessário é completar quadrados para as variáveis y e z, isolar x e reconhecer o tipo de quádricas.

Passo 2

Agrupamos termos envolvendo x, y e z e isolamos x.
y^{2}-6y \;-\;4z^{2}-24z \;-\;4x \;-\;31=0
pode ser reescrita como
-4x = -\,y^{2}+6y \;+\;4z^{2}+24z +31
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x = \frac{1}{4}\bigl(y^{2}-6y \;-\;4z^{2}-24z -31\bigr).

Passo 3

Agora completamos os quadrados em y e z:
  1. y^{2}-6y = (y-3)^{2}-9.
  2. -4z^{2}-24z = -4\bigl(z^{2}+6z\bigr) = -4\bigl((z+3)^{2}-9\bigr) = -4(z+3)^{2}+36.
Substituindo na expressão de x:
x = \frac{1}{4}\Bigl((y-3)^{2}-9 \;-\;4(z+3)^{2}+36 \;-\;31\Bigr).

Passo 4

Simplificando dentro dos colchetes:
-9 +36 -31 = -4.
Portanto
x = \frac{1}{4}(y-3)^{2} \;-\;(z+3)^{2} \;-\;1.
Ou seja, em forma canônica:
x +1 = \frac{1}{4}(y-3)^{2} \;-\;(z+3)^{2}.

Passo 5

A equação
x +1 = \frac{1}{4}(y-3)^{2} - (z+3)^{2}
é exatamente a forma de um paraboloide hiperbólico, pois há um termo quadrático positivo em y e um negativo em z, com x linear.

Passo 6

Para esboçar o paraboloide hiperbólico:
  1. A “sela” está centrada no ponto \bigl(x,y,z\bigr)=(-1,3,-3).
  2. Se fixamos z=-3, então x+1=\tfrac14(y-3)^{2}: curva parabólica voltada para +x.
  3. Se fixamos y=3, então x+1=-(z+3)^{2}: curva parabólica voltada para -x.
No esboço, deslocamos o vértice para (-1,3,-3) e desenhamos as duas parábolas em planos perpendiculares, obtendo a forma de sela característica.

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico e sua equação reduzida é
\boxed{x +1 = \frac{1}{4}(y-3)^{2} - (z+3)^{2}}.

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