QUESTÃO 6 (2,0 Pontos). O plano de equação \delta:(x, y, z)=(0,1,2)+h(0,1,2)+t(2,1,0) é tangente a uma superfície esférica no ponto P(1,1,1). Sendo C\left(2, y_{C}, z_{C}\right) o centro da superfície, calcule y_{C} e z_{C}.
Passo 1
O enunciado dá um plano \delta definido por
(x,y,z) = (0,1,2) + h\,(0,1,2) + t\,(2,1,0)
e diz que esse plano é tangente a uma esfera no ponto P(1,1,1). O centro da esfera é
C\bigl(2,y_C,z_C\bigr),
e, como num ponto de tangência o raio é perpendicular ao plano, o vetor
\overrightarrow{CP} = P - C
deve ser paralelo ao vetor normal a \delta. Nosso objetivo será achar esse vetor normal e usar a condição de paralelismo para determinar y_C e z_C.
Passo 2
Para achar o vetor normal \mathbf{n} ao plano \delta, tomamos o produto vetorial entre os vetores diretores \mathbf{v}=(0,1,2) e \mathbf{w}=(2,1,0). Logo,