QUESTÃO 6 (2,0 Pontos). O plano de equação \delta:(x, y, z)=(0,1,2)+h(0,1,2)+t(2,1,0) é tangente a uma superfície esférica no ponto P(1,1,1). Sendo C\left(2, y_{C}, z_{C}\right) o centro da superfície, calcule y_{C} e z_{C}.

Passo 1

O enunciado dá um plano \delta definido por
(x,y,z) = (0,1,2) + h\,(0,1,2) + t\,(2,1,0)
e diz que esse plano é tangente a uma esfera no ponto P(1,1,1). O centro da esfera é
C\bigl(2,y_C,z_C\bigr),
e, como num ponto de tangência o raio é perpendicular ao plano, o vetor
\overrightarrow{CP} = P - C
deve ser paralelo ao vetor normal a \delta. Nosso objetivo será achar esse vetor normal e usar a condição de paralelismo para determinar y_C e z_C.

Passo 2

Para achar o vetor normal \mathbf{n} ao plano \delta, tomamos o produto vetorial entre os vetores diretores
\mathbf{v}=(0,1,2) e \mathbf{w}=(2,1,0). Logo,
\mathbf{n} = \mathbf{v}\times\mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \bigl(-2,\;4,\;-2\bigr).
Podemos simplificar esse normal dividindo por -2, obtendo
\mathbf{n}=(1,-2,1).

Passo 3

O vetor \overrightarrow{CP} sai de C(2,y_C,z_C) e chega em P(1,1,1), portanto
\overrightarrow{CP} = P - C = \bigl(1-2,\;1 - y_C,\;1 - z_C\bigr) = \bigl(-1,\;1 - y_C,\;1 - z_C\bigr).
Para que \overrightarrow{CP} seja paralelo a \mathbf{n}=(1,-2,1), existe um escalar \lambda tal que
(-1,\;1 - y_C,\;1 - z_C) = \lambda\,(1,-2,1).
Comparando a primeira componente, -1 = \lambda\cdot1 \lambda=-1.
Então, da segunda componente:
1 - y_C = \lambda\cdot(-2) = -1\cdot(-2) = 2 \quad\Longrightarrow\quad y_C = 1 - 2 = -1.
E da terceira:
1 - z_C = \lambda\cdot1 = -1 \quad\Longrightarrow\quad z_C = 1 + 1 = 2.

Resposta

y_C = -1 e z_C = 2.

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