Seja \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right].
a) Ache os autovalores de \mathbf{A} e de \mathbf{A}^{-1}.
b) Quais são os autovetores correspondentes?
e pede:
a) os autovalores de \mathbf{A} e de \mathbf{A}^{-1},
b) os autovetores correspondentes.
Para resolver, vamos usar a definição de autovalores via determinante \det(\mathbf{A}-\lambda I)=0 e depois encontrar vetores não nulos que satisfaçam (\mathbf{A}-\lambda I)v=0.]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de \mathbf{A}:
Da primeira linha x+2y=0, ou x=-2y. Um autovetor correspondente é
v_2=\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Os autovetores de \mathbf{A}^{-1} são os mesmos de \mathbf{A}, apenas com valores próprios invertidos.
Resposta
(a) Os autovalores são \lambda_1=2, \lambda_2=-1 para \mathbf{A}
e \lambda_1^{-1}=\tfrac12, \lambda_2^{-1}=-1 para \mathbf{A}^{-1}.
(b) Os autovetores correspondentes são
para \lambda_1=2: v_1=(1,1)^T,
para \lambda_2=-1: v_2=(2,-1)^T.