Seja \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right].
a) Ache os autovalores de \mathbf{A} e de \mathbf{A}^{-1}.
b) Quais são os autovetores correspondentes?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}0 & 2\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}
e pede:
a) os autovalores de \mathbf{A} e de \mathbf{A}^{-1},
b) os autovetores correspondentes.
Para resolver, vamos usar a definição de autovalores via determinante \det(\mathbf{A}-\lambda I)=0 e depois encontrar vetores não nulos que satisfaçam (\mathbf{A}-\lambda I)v=0.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de \mathbf{A}:
\det(\mathbf{A}-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-\lambda & 2\\[3pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(-\lambda)(1-\lambda)-2\cdot1 =\lambda^2-\lambda-2.
Igualando a zero,
\lambda^2-\lambda-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} =\frac{1\pm3}{2},
logo os autovalores de \mathbf{A} são
\lambda_1=2, \quad \lambda_2=-1.]

Passo 3

Como \mathbf{A}^{-1} tem exatamente os mesmos autovetores de \mathbf{A} e autovalores recíprocos, os autovalores de \mathbf{A}^{-1} são
\lambda_1^{-1}=\frac1{2}, \quad \lambda_2^{-1}=-1.

Passo 4

Agora achamos os autovetores de \mathbf{A}. Para \lambda_1=2, resolvemos
(\mathbf{A}-2I)v =\begin{pmatrix}-2 & 2\\[3pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem -2x+2y=0, ou y=x. Um autovetor correspondente é
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2=-1, resolvemos
(\mathbf{A}+I)v =\begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha x+2y=0, ou x=-2y. Um autovetor correspondente é
v_2=\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Os autovetores de \mathbf{A}^{-1} são os mesmos de \mathbf{A}, apenas com valores próprios invertidos.

Resposta

(a) Os autovalores são
\lambda_1=2, \lambda_2=-1 para \mathbf{A}
e
\lambda_1^{-1}=\tfrac12, \lambda_2^{-1}=-1 para \mathbf{A}^{-1}.
(b) Os autovetores correspondentes são
para \lambda_1=2: v_1=(1,1)^T,
para \lambda_2=-1: v_2=(2,-1)^T.

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