Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
x^{2}+4 y^{2}+8 x-8 y-4 z+28=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla definida por
x^{2} + 4y^{2} + 8x - 8y - 4z + 28 = 0
e pede (a) classificação do tipo de superfície, (b) sua equação reduzida e (c) um esboço. Vamos usar a técnica de completar quadrados em x e y e isolar z.

Passo 2

Agrupamos termos em x e y, e deixamos em evidência o termo em z:
x^{2} + 8x \;+\; 4y^{2} - 8y \;-\;4z \;+\;28 = 0.
Agora completamos o quadrado em x:
x^{2} + 8x = (x + 4)^{2} - 16,
e em y:
4y^{2} - 8y = 4\bigl(y^{2} - 2y\bigr) = 4\bigl((y - 1)^{2} - 1\bigr) = 4(y - 1)^{2} - 4.
Substituindo na equação:
\bigl((x+4)^{2} - 16\bigr) + \bigl(4(y-1)^{2} - 4\bigr) - 4z + 28 = 0.
Simplificando constantes:
(x+4)^{2} + 4(y-1)^{2} - 16 - 4 - 4z + 28 = 0 \;\Longrightarrow\; (x+4)^{2} + 4(y-1)^{2} - 4z + 8 = 0.

Passo 3

Isolamos z:
(x+4)^{2} + 4(y-1)^{2} + 8 = 4z \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2} + 2.
Em forma reduzida, escrevemos
z - 2 \;=\; \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2}.

Passo 4

A equação
z - 2 = \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2}
corresponde ao paraboloide elíptico com vértice em \bigl(-4,1,2\bigr) e “eixos” alinhados aos eixos coordenados. Ele abre no sentido crescente de z, pois o lado direito é sempre \ge0 e cresce com \lvert x+4\rvert e \lvert y-1\rvert.

Passo 5

Para esboçar:
  • O vértice é o ponto (-4,1,2).
  • No plano z=2, temos (x+4)^{2}/4+(y-1)^{2}=0, ou seja, apenas o vértice.
  • Para z=2+h com h>0, as seções planas são elipses \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2} = h,de semi-eixos \sqrt{4h}=2\sqrt{h} em x e \sqrt{h} em y.
    Assim, o esboço é um “bowling” alongado em x e engrosso em y, que cresce conforme z aumenta.

Resposta

Tipo de superfície: paraboloide elíptico que abre para +\!z.
Equação reduzida:
z - 2 = \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2}.

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