Para cada uma das equações abaixo, identifique o tipo de superfície correspondente, obtenha sua equação reduzida e faça seu esboço.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádrupla definida por
e pede (a) classificação do tipo de superfície, (b) sua equação reduzida e (c) um esboço. Vamos usar a técnica de completar quadrados em
e
e isolar
.
Passo 2
Agrupamos termos em
e
, e deixamos em evidência o termo em
:
Agora completamos o quadrado em
:
e em
:
Substituindo na equação:
Simplificando constantes:
Passo 3
Isolamos
:
Em forma reduzida, escrevemos
Passo 4
A equação
corresponde ao paraboloide elíptico com vértice em
e “eixos” alinhados aos eixos coordenados. Ele abre no sentido crescente de
, pois o lado direito é sempre
e cresce com
e
.
Passo 5
Para esboçar:
- O vértice é o ponto
. - No plano
, temos , ou seja, apenas o vértice. - Para
com , as seções planas são elipses de semi-eixos em e em .
Assim, o esboço é um “bowling” alongado eme engrosso em , que cresce conforme aumenta.
Resposta
Tipo de superfície: paraboloide elíptico que abre para
.
Equação reduzida:
Equação reduzida: