Para cada uma das equações abaixo, identique a cônica que ela representa, encontrando, nos casos não degenerados, os seus principais elementos. Faça também um esboço da curva.
3 x y+13 y^2-16=0

Passo 1

O enunciado dá a curva
3xy + 13y^2 - 16 = 0
que é uma cônica geral do tipo
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
com A=0, B=3, C=13, D=E=0, F=-16. Para classificar, calculamos o discriminante
De<a = B^2 - 4AC = 3^2 - 4cdot 0cdot 13 = 9 > 0,
logo trata-se de uma hipérbole. Não há termos lineares, então o centro está em (0,0).

Passo 2

Encontramos as assíntotas fazendo F=0, isto é
3xy + 13y^2 = 0 Longrightarrow y,(3x + 13y) = 0
Daí as duas retas-assíntotas são
y = 0 e 3x + 13y = 0

Passo 3

Para reduzir a forma com termo xy, giramos os eixos de um ângulo theta tal que
tan(2theta) = BA - C = 30 - 13 = -313,
logo
theta = -12arctan!l(tfrac313r)
Nos eixos (u,v) girados, a forma quadrática diagonaliza em
lambda1,u^2 + lambda2,v^2 - 16 = 0,
com autovalores
lambda1,2 = A + C2 pm raiz(A - C)^2 + B^22 = 13 pm raiz1782

Passo 4

Escrevendo em forma canônica de hipérbole, dividimos por 16 e obtemos
u^2a^2 ;-;v^2b^2 = 1,
onde
a^2 = 16lambda1 = 3213 + raiz178, b^2 = -,16lambda2 = 32raiz178 - 13

Passo 5

Os vértices estão em (u,v) = (pm a,0), e em coordenadas originais (x,y) ficam
(x,y) = l(pm acostheta,;pm asinthetar)
A distância focal é
c = raiza^2 + b^2,
e a excentricidade
e = ca
Numericamente,
a approx 1,102, b approx 9,693, c approx 9,753, e approx 8,85

Passo 6

Esboço da hipérbole:
– Centro em (0,0).
– Assíntotas y=0 (eixo- x) e 3x+13y=0.
– Dois ramos simétricos, um no 1.º quadrante e outro no 3.º, aproximando-se das assíntotas e passando pelos vértices calculados.

Resposta

A cônica é uma hipérbole com centro em (0,0), assíntotas
y=0 e 3x+13y=0,
forma canônica
u^2,tfrac3213+raiz178, ;-; v^2,tfrac32raiz178-13, =1,
vértices em
l(pm acostheta,pm asinthetar) com
a^2=tfrac3213+raiz178,
focos à distância c=raiza^2+b^2, excentricidade e=c/a,
e esboço conforme descrito acima.

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