Para cada uma das equações abaixo, identique a cônica que ela representa, encontrando, nos casos não degenerados, os seus principais elementos. Faça também um esboço da curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva
que é uma cônica geral do tipo
com
,
,
,
,
. Para classificar, calculamos o discriminante
logo trata-se de uma hipérbole. Não há termos lineares, então o centro está em
.
Passo 2
Encontramos as assíntotas fazendo
, isto é
Daí as duas retas-assíntotas são
Passo 3
Para reduzir a forma com termo
, giramos os eixos de um ângulo
tal que
logo
Nos eixos
girados, a forma quadrática diagonaliza em
com autovalores
Passo 4
Escrevendo em forma canônica de hipérbole, dividimos por 16 e obtemos
onde
Passo 5
Os vértices estão em
, e em coordenadas originais
ficam
A distância focal é
e a excentricidade
Numericamente,
Passo 6
Esboço da hipérbole:
– Centro em .
– Assíntotas (eixo-
) e
.
– Dois ramos simétricos, um no 1.º quadrante e outro no 3.º, aproximando-se das assíntotas e passando pelos vértices calculados.
– Centro em
– Assíntotas
– Dois ramos simétricos, um no 1.º quadrante e outro no 3.º, aproximando-se das assíntotas e passando pelos vértices calculados.
Resposta
A cônica é uma hipérbole com centro em
, assíntotas
forma canônica
vértices em
com
,
focos à distância , excentricidade
,
e esboço conforme descrito acima.
focos à distância
e esboço conforme descrito acima.