Se (x, y, z) é solução do sistema linear homogêneo l-5 x+2 y+1 z=0 7 x-2 y-3 z=0 5 x-2 y-1 z=0, e z neq 0, quanto vale x+yz ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneas que você me mandou. O objetivo é encontrar o valor de x + yz sabendo que z neq 0. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como resolução de sistemas de equações e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
-5x + 2y + z = 0 7x - 2y - 3z = 0 5x - 2y - z = 0
Nosso objetivo é encontrar relações entre x, y e z que nos permitam calcular x + yz.

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Observando as equações, podemos eliminar y somando a primeira e a terceira equações:
(-5x + 2y + z) + (5x - 2y - z) = 0 + 0 0x + 0y + 0z = 0
Isso nos dá uma identidade verdadeira, o que significa que as duas equações são dependentes. Então, vamos usar as duas primeiras equações para continuar.

Passo 4

Vamos multiplicar a primeira equação por 1 para facilitar a eliminação:
-5x + 2y + z = 0 (1)
E a segunda equação por 1 também:
7x - 2y - 3z = 0 (2)
Agora, somando as equações (1) e (2):
(-5x + 7x) + (2y - 2y) + (z - 3z) = 0 + 0 2x - 2z = 0

Passo 5

Da equação 2x - 2z = 0, podemos isolar x:
2x = 2z x = z
Então, temos que x = z.

Passo 6

Agora, vamos substituir x = z na primeira equação para encontrar y:
-5x + 2y + z = 0 -5z + 2y + z = 0 (substituindo x = z) -4z + 2y = 0 2y = 4z y = 2z
Então, y = 2z.

Passo 7

Agora que temos x = z e y = 2z, podemos calcular x + yz:
x + yz = z + 2zz = 3zz = 3

Resposta

x + yz = 3

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