Para cada uma das equações abaixo, identique a cônica que ela representa, encontrando, nos casos não degenerados, os seus principais elementos. Faça também um esboço da curva.
Passo 1
O enunciado pede classificar a cônica dada por
usando teoria de cônicas gerais: calculamos o discriminante para identificar o tipo, depois encontramos o centro (é uma cônica central), eliminamos termos lineares por translação, o termo misto por rotação, reduzimos à forma canônica, extraímos os elementos principais (semieixos, excentricidade, vértices, assíntotas) e, por fim, esboçamos.
Passo 2
Na forma geral
temos
Calculamos o discriminante
Como
, trata-se de uma hipérbole.
Passo 3
O centro
de uma cônica central resolve
Resolvendo, obtém-se
Passo 4
Fazemos a translação
de modo que os termos lineares desaparecem. Ao calcular o termo constante em
, achamos
logo a equação transladada fica
Passo 5
Para eliminar o termo misto
consideramos a forma quadrática
Os autovalores são
,
e os autovetores ortogonais
,
. Em coordenadas
segundo
, a equação reduz-se a
Passo 6
Da forma
lemos
– Eixo transverso na direção de
.
– Eixo conjugado na direção de .
– Vértices em , isto é
. Em
dão
. Voltando a
:
– Eixo conjugado na direção de
– Vértices em
Passo 7
As assíntotas vêm da parte homogênea
Tomando
,
Como passam pelo centro
, as equações são
Resposta
É uma hipérbole central com:
Centro .
Eixo transverso na direção , eixo conjugado em
.
Forma canônica
Centro
Eixo transverso na direção
Forma canônica
Vértices em
e
.
Assíntotas
Assíntotas
Esboço: dois ramos centrados em
, abrindo ao longo de
e
, aproximando-se das retas dadas como assíntotas.