Para cada uma das equações abaixo, identique a cônica que ela representa, encontrando, nos casos não degenerados, os seus principais elementos. Faça também um esboço da curva.
7 x 2-48 x y-7 y 2-30 x-40 y+75=0

Passo 1

O enunciado pede classificar a cônica dada por
7x^2 - 48xy -7y^2 -30x -40y +75 = 0
usando teoria de cônicas gerais: calculamos o discriminante para identificar o tipo, depois encontramos o centro (é uma cônica central), eliminamos termos lineares por translação, o termo misto por rotação, reduzimos à forma canônica, extraímos os elementos principais (semieixos, excentricidade, vértices, assíntotas) e, por fim, esboçamos.

Passo 2

Na forma geral Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F=0 temos
A=7, B=-48, C=-7
Calculamos o discriminante
De<a = B^2 - 4AC = (-48)^2 -4cdot7cdot(-7)=2304+196=2500>0
Como De<a>0, trata-se de uma hipérbole.

Passo 3

O centro (h,k) de uma cônica central resolve
partial Qpartial x=14x -48y -30=0, partial Qpartial y=-48x -14y -40=0
Resolvendo, obtém-se
(h,k)=l(-tfrac35,-tfrac45r)

Passo 4

Fazemos a translação
x = X + h, y = Y + k
de modo que os termos lineares desaparecem. Ao calcular o termo constante em (h,k), achamos
Q(h,k)=100,
logo a equação transladada fica
7X^2 -48XY -7Y^2 +100 = 0

Passo 5

Para eliminar o termo misto consideramos a forma quadrática
Os autovalores são , e os autovetores ortogonais
, . Em coordenadas segundo , a equação reduz-se a

Passo 6

Da forma tfracV^2a^2-tfracU^2b^2=1 lemos
a^2=4, b^2=4, a=b=2, e=raiz1+b^2a^2=raiz2
– Eixo transverso na direção de v2=(3,4).
– Eixo conjugado na direção de v1=(-4,3).
– Vértices em (U,V)=(0,pm a), isto é (0,pm2). Em (X,Y) dão pm2,(3/5,4/5)=(pm6/5,pm8/5). Voltando a (x,y):
l(tfrac65-tfrac35,tfrac85-tfrac45r) =(tfrac35,tfrac45), l(-tfrac65-tfrac35,-tfrac85-tfrac45r) =(-tfrac95,-tfrac125)

Passo 7

As assíntotas vêm da parte homogênea
7x^2 -48xy -7y^2 = 0
Tomando y=mx,
7 -48m -7m^2=0 ;Longrightarrow; 7m^2+48m-7=0 ;Longrightarrow; m=-48pm5014=17ou -7
Como passam pelo centro l(-tfrac35,-tfrac45r), as equações são
y+tfrac45=tfrac17l(x+tfrac35r), y+tfrac45=-7l(x+tfrac35r)

Resposta

É uma hipérbole central com:
Centro l(-tfrac35,-tfrac45r).
Eixo transverso na direção (3,4), eixo conjugado em (-4,3).
Forma canônica
V^24-U^24=1, a=b=2, e=raiz2
Vértices em l(tfrac35,tfrac45r) e l(-tfrac95,-tfrac125r).
Assíntotas
y+tfrac45=tfrac17(x+tfrac35), y+tfrac45=-7(x+tfrac35)
Esboço: dois ramos centrados em l(-tfrac35,-tfrac45r), abrindo ao longo de (3,4) e (-3,-4), aproximando-se das retas dadas como assíntotas.

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