Para cada uma das equações abaixo, identique a cônica que ela representa, encontrando, nos casos não degenerados, os seus principais elementos. Faça também um esboço da curva.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede que a identifiquemos e, se não degenerada, encontremos seus elementos principais (vértice, foco, diretriz, eixo). Aqui vamos usar classificação por discriminante, rotação de eixos para eliminar o termo em
, e completar quadrados para reduzir à forma padrão de parábola.
Passo 2
Classificamos a cônica pelo discriminante
, onde
,
,
.
Como
, trata-se de uma parábola (não degenerada, pois há termos quadráticos não nulos).
Passo 3
Para eliminar o termo misto usamos rotação de eixos de ângulo
tal que
A transformação inversa é
com
,
.
Passo 4
Substituindo e calculando coeficientes no sistema
, obtém-se sem termo
:
Passo 5
Reescrevendo em forma padrão:
Isto é uma parábola com vértice em
, parâmetro focal
.
- Foco em
. - Diretriz
, isto é . - Eixo de simetria
.
Passo 6
Voltando aos eixos originais:
Vértice
Vértice
Foco
Diretriz
vira
Eixo
vira
Passo 7
Esboço: parábola apoiada sobre a diretriz inclinada
, aberta no sentido da reta
, com vértice em
e foco em
.
Resposta
É uma parábola rotacionada de eixo inclinado.
Vértice em .
Foco em .
Diretriz .
Eixo de simetria .
Vértice em
Foco em
Diretriz
Eixo de simetria