Para cada uma das equações abaixo, identique a cônica que ela representa, encontrando, nos casos não degenerados, os seus principais elementos. Faça também um esboço da curva.
3 x^2+2 raiz3 x y+y^2-(12 raiz3+8) x-(12-8 raiz3) y+52=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3x^2 + 2raiz3,xy + y^2 - (12raiz3+8)x - (12-8raiz3)y + 52 = 0
e pede que a identifiquemos e, se não degenerada, encontremos seus elementos principais (vértice, foco, diretriz, eixo). Aqui vamos usar classificação por discriminante, rotação de eixos para eliminar o termo em xy, e completar quadrados para reduzir à forma padrão de parábola.

Passo 2

Classificamos a cônica pelo discriminante De<a = B^2 - 4AC, onde A=3, B=2raiz3, C=1.
De<a = (2raiz3)^2 -4cdot3cdot1 =12-12=0
Como De<a=0, trata-se de uma parábola (não degenerada, pois há termos quadráticos não nulos).

Passo 3

Para eliminar o termo misto usamos rotação de eixos de ângulo varphi tal que
tan(2varphi)=BA-C=2raiz33-1=raiz3 Longrightarrow 2varphi=60^circ,;varphi=30^circ
A transformação inversa é
x = x'cosvarphi - y'sinvarphi, y = x'sinvarphi + y'cosvarphi,
com cos30^circ=tfracraiz32, sin30^circ=tfrac12.

Passo 4

Substituindo e calculando coeficientes no sistema (x',y'), obtém-se sem termo x'y':
4,x'^2 -24,x' +16,y' +52=0

Passo 5

Reescrevendo em forma padrão:
4l(x'^2-6x'r)+16,y' +52=0 ;Longrightarrow; 4(x'-3)^2-36 +16,y' +52=0
Longrightarrow; 4(x'-3)^2 +16l(y'+1r)=0 ;Longrightarrow; (x'-3)^2 = -4,(y'+1)
Isto é uma parábola com vértice em (x',y')=(3,-1), parâmetro focal 4p=-4Rightarrow p=-1.
  • Foco em l(3,,-1 + pr)=(3,-2).
  • Diretriz y' -(-1)= -p, isto é y'=0.
  • Eixo de simetria x'=3.

Passo 6

Voltando aos eixos originais:
Vértice
xv = 3cos30^circ -(-1)sin30^circ = 3raiz32 + 12 = 3raiz3+12, yv = 3sin30^circ +(-1)cos30^circ = 32 - raiz32 = 3-raiz32
Foco
xf = 3cos30^circ -(-2)sin30^circ = 3raiz32 +1 = 3raiz3+22, yf = 3sin30^circ +(-2)cos30^circ = 32 -raiz3 = 3-2raiz32
Diretriz y'=0 vira
-ysin30^circ + ycos30^circ=0 ;Longrightarrow; -,xcdottfrac12 + ycdottfracraiz32 =0 ;Longrightarrow; y = xraiz3
Eixo x'=3 vira
xcos30^circ + ysin30^circ =3 ;Longrightarrow; raiz32,x + 12,y =3 ;Longrightarrow; y = 6 - raiz3,x

Passo 7

Esboço: parábola apoiada sobre a diretriz inclinada y=tfracxraiz3, aberta no sentido da reta y=6-raiz3x, com vértice em l(tfrac3raiz3+12,tfrac3-raiz32r) e foco em l(tfrac3raiz3+22,tfrac3-2raiz32r).

Resposta

É uma parábola rotacionada de eixo inclinado.
Vértice em l(tfrac3raiz3+12,tfrac3-raiz32r).
Foco em l(tfrac3raiz3+22,tfrac3-2raiz32r).
Diretriz y=xraiz3.
Eixo de simetria y=6-raiz3,x.

Exercícios relacionados