Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
x^2=12 y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2=12,y
e pede para classificá-la como uma cônica e obter seus elementos (vértice, foco, diretriz e eixo de simetria), além de esboçar o gráfico. O formato quadrático em x e linear em y sugere que se trata de uma parábola de eixo vertical.

Passo 2

Para reconhecer a parábola, comparamos com a forma canônica
x^2=4p,y
Aqui temos 4p=12, logo
p=3

Passo 3

A partir de p=3 obtemos os elementos da parábola:
– Vértice: ponto médio da parábola, em (0,0).
– Foco: está a distância p do vértice ao longo do eixo, em l(0,pr)=(0,3).
– Diretriz: reta perpendicular ao eixo de simetria a uma distância p “abaixo” do vértice, dada por
y=-3
– Eixo de simetria: reta vertical que passa pelo vértice, dada por
x=0

Passo 4

Para esboçar o gráfico note que a parábola abre para cima, é simétrica em torno de x=0 e passa por pontos como:
– se y=3 então x^2=36, ou seja x=pm6;
– se y=1 então x^2=12, ou seja x=pm2.
Basta traçar esses pontos e ligar suavemente, respeitando o vértice em (0,0), o foco em (0,3) e a diretriz y=-3.

Resposta

Classificação: parábola com eixo vertical que abre para cima.
Vértice: (0,0)
Foco: (0,3)
Diretriz: y=-3
Eixo de simetria: reta x=0
Esboço: inicia em (0,0), curva para cima passando por (pm2,1), (pm6,3), com foco em (0,3) e reta-guia y=-3.

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