Estabeleça a equação da parábola e esboce o gráfico a partir dos elementos dados.
Diretriz d: y=-5 e Vértice V(0,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola cujo vértice é V(0,0) e cuja diretriz é a reta d:y=-5. Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz, e a forma padrão de uma parábola vertical.

Passo 2

Para encontrar o parâmetro focal p e o foco, lembramos que, numa parábola vertical com vértice em (h,k), a diretriz é
y = k - p
e o foco é
F(h,,k + p)
Aqui (h,k)=(0,0) e a diretriz é y=-5. Logo
k - p = -5 Longrightarrow 0 - p = -5 Longrightarrow p = 5,
e o foco fica em
F(0,,0+5) = (0,5)

Passo 3

A forma padrão de uma parábola de eixo vertical e vértice em (h,k) é
(x - h)^2 = 4,p,(y - k)
Substituindo h=0, k=0 e p=5, temos

Passo 4

x^2 = 4 cdot 5 cdot y Longrightarrow x^2 = 20,y

Passo 5

O esboço do gráfico é uma curva com vértice na origem que se abre para cima. O foco está em (0,5) e a diretriz é a reta paralela ao eixo x, em y=-5.
Vértice: (0,0)
Foco: (0,5)
Diretriz: y=-5
A parábola é simétrica em relação ao eixo y e, partindo do vértice, cresce para cima seguindo o formato de “U”.

Resposta

A equação da parábola é
x^2 = 20,y
O gráfico é uma parábola com vértice em (0,0), foco em (0,5) e diretriz y=-5, abrindo-se para cima.

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