Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
4 x^2+25 cdot y^2=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
4x^2 + 25y^2 = 1
e pede que a classifiquemos entre as cônicas e obtenhamos seus elementos. O conteúdo aqui é o de elipse centrada na origem. Vamos colocar na forma-padrão e extrair centro, semieixos, vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 1, escrevemos em forma-padrão:
x^2tfrac14 ;+;y^2tfrac125 ;=;1

Passo 3

Comparando com
x^2a^2+y^2b^2=1,
vemos que
a^2=tfrac14, b^2=tfrac125
Como tfrac14> tfrac125, temos
a=tfrac12, b=tfrac15,
e o semieixo maior fica ao longo de x.

Passo 4

Centro e vértices:
O centro é (0,0).
Os vértices, no eixo maior (eixo x), estão em
(pm a,0)=l(pmtfrac12,0r)
Os co-vértices, no eixo menor (eixo y), estão em
(0,pm b)=l(0,pmtfrac15r)

Passo 5

Focos:
Para elipse, c^2=a^2-b^2. Então
c^2=tfrac14-tfrac125=25-4100=21100,
c=raiz2110
Os focos, ao longo de x, são
(pm c,0)=l(pmraiz2110,0r)

Passo 6

Excentricidade:
e=ca =raiz2110tfrac12 =raiz215

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Centro em (0,0).
  • Semieixo maior a=tfrac12 no eixo x (extensão total 1).
  • Semieixo menor b=tfrac15 no eixo y (extensão total tfrac25).
  • Vértices em l(pmtfrac12,0r), co-vértices em l(0,pmtfrac15r).
  • Focos em l(pmtfracraiz2110,0r).
    O desenho é uma elipse achatada, mais larga que alta, simétrica em relação aos eixos.

Resposta

Classificação: elipse.
Centro: (0,0).
Semieixo maior: a=tfrac12.
Semieixo menor: b=tfrac15.
Vértices: l(pmtfrac12,0r).
Co-vértices: l(0,pmtfrac15r).
Focos: l(pmtfracraiz2110,0r).
Excentricidade: e=tfracraiz215.

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