Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede classificação da cônica, além de seus elementos. Estamos diante de uma diferença de quadrados igual a 1, o que caracteriza uma hipérbole.
Passo 2
Para obter a forma padrão da hipérbole, dividimos ambos os lados por 1 de modo a isolar os quadrados:
Assim identificamos
Passo 3
O centro da hipérbole é o ponto médio da equação, que neste caso é
Os vértices situam-se ao longo do eixo transverso (eixo
), a uma distância
do centro:
Passo 4
O parâmetro
que define os focos satisfaz
Logo os focos são
A excentricidade é
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são dadas por
Passo 6
Esboço do gráfico: dois ramos simétricos em relação à origem, abrindo para cima e para baixo. Cada ramo passa pelo respectivo vértice
e se aproxima das retas assíntotas
.
Resposta
- Tipo: hipérbole com eixo transverso no eixo
. - Centro:
. - Vértices:
. - Focos:
. - Excentricidade:
. - Assíntotas:
.