Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
2 cdot y^2-4 cdot x^2=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2y^2-4x^2=1
e pede classificação da cônica, além de seus elementos. Estamos diante de uma diferença de quadrados igual a 1, o que caracteriza uma hipérbole.

Passo 2

Para obter a forma padrão da hipérbole, dividimos ambos os lados por 1 de modo a isolar os quadrados:
2y^21-4x^21=1 Longrightarrow y^2tfrac12-x^2tfrac14=1
Assim identificamos
a^2=tfrac12, b^2=tfrac14, a=raiztfrac12=raiz22, b=raiztfrac14=12

Passo 3

O centro da hipérbole é o ponto médio da equação, que neste caso é
(0,0)
Os vértices situam-se ao longo do eixo transverso (eixo y), a uma distância a do centro:
(0,pm a)=(0,pmtfracraiz22)

Passo 4

O parâmetro c que define os focos satisfaz
c^2=a^2+b^2=tfrac12+tfrac14=tfrac34, c=raiz32
Logo os focos são
(0,pm c)=(0,pmtfracraiz32)
A excentricidade é
e=ca =tfracraiz32tfracraiz22 =raiztfrac32

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole na forma y^2a^2-x^2b^2=1 são dadas por
y=pmab,x ;Longrightarrow; y=pmtfracraiz22tfrac12,x =pmraiz2,x

Passo 6

Esboço do gráfico: dois ramos simétricos em relação à origem, abrindo para cima e para baixo. Cada ramo passa pelo respectivo vértice (0,pmraiz22) e se aproxima das retas assíntotas y=pmraiz2,x.

Resposta

  • Tipo: hipérbole com eixo transverso no eixo y.
  • Centro: (0,0).
  • Vértices: l(0,pmtfracraiz22r).
  • Focos: l(0,pmtfracraiz32r).
  • Excentricidade: raiztfrac32.
  • Assíntotas: y=pmraiz2,x.

Exercícios relacionados