Estabeleça a equação da elipse e esboce o gráfico a partir dos elementos dados.
Centro C(0,0), um vértice A(0,-5), comprimento do eixo menor 3 ;

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse centrada em C(0,0) com um vértice em A(0,-5) e comprimento do eixo menor igual a 3. Para isso usamos a forma padrão da elipse centrada na origem, com eixo maior vertical:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1,
onde a é o semi-eixo maior (distância do centro a um vértice principal) e b é o semi-eixo menor.

Passo 2

O vértice A(0,-5) mostra que a distância do centro até esse vértice é 5. Logo
a = 5

Passo 3

O comprimento do eixo menor é 2b = 3. Assim
b = 32

Passo 4

Substituindo a e b na equação da elipse, obtemos
x^2l(tfrac32r)^2 + y^25^2 = 1 Longrightarrow x^29/4 + y^225 = 1 Longrightarrow 4x^29 + y^225 = 1

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  • Centro em C(0,0).
  • Vértices principais em (0,5) e (0,-5).
  • Vértices secundários (pontos de interseção com o eixo x) em l(pmtfrac32,0r).
    Basta desenhar uma curva suave que passe por esses quatro pontos, mais larga no sentido vertical e mais estreita no horizontal.

Resposta

4x^29 + y^225 = 1
Esboço: elipse centrada em (0,0), com vértices em (0,pm5) e interseções com o eixo x em l(pmtfrac32,0r).

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