Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
4 cdot x^2-5 cdot y^2+20=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
4x^2-5y^2+20=0
e pede para classificar a cônica e obter seus elementos. O conteúdo aqui é identificação de cônica via discriminante e passagem para a forma padrão para extrair centro, vértices, focos, assíntotas e excentricidade (no caso de hipérbole).

Passo 2

Vamos usar a forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. Aqui A=4, B=0, C=-5. O discriminante é
De<a = B^2-4AC = 0^2-4cdot 4cdot(-5)=80>0,
logo a curva é uma hipérbole.

Passo 3

Reescrevemos a equação agrupando os termos quadráticos:
4x^2-5y^2=-20 Longrightarrow 5y^2-4x^2=20
Dividindo ambos os lados por 20,
y^24-x^25=1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverse vertical.

Passo 4

Da forma
y^2a^2-x^2b^2=1
identificamos
a^2=4,;b^2=5 Longrightarrow a=2,;b=raiz5
O centro é (0,0) e a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo y).

Passo 5

Cálculo dos demais elementos:
c^2=a^2+b^2=4+5=9 Longrightarrow c=3
  • Vértices: (0,pm a)=(0,pm 2).
  • Focos: (0,pm c)=(0,pm 3).
  • Excentricidade:
e=ca=32
  • Assíntotas: como a hipérbole é
    y^24-x^25=1, as retas-assíntotas são
y=pmab,x =pm2raiz5,x

Passo 6

Esboço: hipérbole centrada na origem, ramos abertos para cima e para baixo, vértices em (0,2) e (0,-2), e linhas-guia (assíntotas) y=pmtfrac2raiz5x.

Resposta

Classificação: hipérbole.
Centro: (0,0).
Vértices: (0,2), (0,-2).
Focos: (0,3), (0,-3).
Excentricidade: e=tfrac32.
Assíntotas: y=pmtfrac2raiz5,x.

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