Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para classificar a cônica e obter seus elementos. O conteúdo aqui é identificação de cônica via discriminante e passagem para a forma padrão para extrair centro, vértices, focos, assíntotas e excentricidade (no caso de hipérbole).
Passo 2
Vamos usar a forma geral
. Aqui
,
,
. O discriminante é
logo a curva é uma hipérbole.
Passo 3
Reescrevemos a equação agrupando os termos quadráticos:
Dividindo ambos os lados por
,
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverse vertical.
Passo 4
Da forma
identificamos
O centro é
e a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo
).
Passo 5
Cálculo dos demais elementos:
- Vértices:
. - Focos:
. - Excentricidade:
- Assíntotas: como a hipérbole é
, as retas-assíntotas são
Passo 6
Esboço: hipérbole centrada na origem, ramos abertos para cima e para baixo, vértices em
e
, e linhas-guia (assíntotas)
.
Resposta
Classificação: hipérbole.
Centro: .
Vértices: ,
.
Focos: ,
.
Excentricidade: .
Assíntotas: .
Centro:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas: