Traus forme a base (1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1) en una base ortoganal.

Passo 1

O enunciado pede para transformar o conjunto de vetores
v1,v2,v3subsetR^4, onde
v1=(1,1,0,1), v2=(1,0,1,1), v3=(0,1,1,1),
numa base ortogonal, usando o processo de Gram-Schmidt. Vamos aplicar as projeções sucessivas para obter vetores u1,u2,u3 mutuamente ortogonais.

Passo 2

Definimos
u1 = v1 = (1,1,0,1)

Passo 3

Calculamos
lang<= u1,u1rang<= = 1^2+1^2+0^2+1^2 = 3,
lang<= v2,u1rang<= = 1cdot1 + 0cdot1 + 1cdot0 + 1cdot1 = 2
A projeção de v2 em u1 é
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = 23,(1,1,0,1)
Logo
u2 = v2 - proju1(v2) = (1,0,1,1) - tfrac23(1,1,0,1) = l(tfrac13,,-tfrac23,,1,,tfrac13r)

Passo 4

Agora ortogonalizamos v3 em relação a u1 e u2. Primeiro
lang<= v3,u1rang<= = 0cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 + 1cdot1 = 2,
lang<= v3,u2rang<= = 0cdottfrac13 + 1cdotl(-tfrac23r) + 1cdot1 + 1cdottfrac13 = -tfrac23 + 1 + tfrac13 = tfrac23,
lang<= u2,u2rang<= = l(tfrac13r)^2 + l(-tfrac23r)^2 + 1^2 + l(tfrac13r)^2 = 1+4+9+19 = 159 = 53
As projeções são
proju1(v3) = 23,u1, proju2(v3) = tfrac23tfrac53,u2 = tfrac25,u2
Portanto
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3)
Substituindo:
u3 = (0,1,1,1) - tfrac23(1,1,0,1) - tfrac25l(tfrac13,-tfrac23,1,tfrac13r) = l(-tfrac45,,tfrac35,,tfrac35,,tfrac15r)

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
u1 = (1,1,0,1), u2 = l(tfrac13,-tfrac23,1,tfrac13r), u3 = l(-tfrac45,tfrac35,tfrac35,tfrac15r)

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