Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
9 cdot x^2+4 cdot y^2-36=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique a cônica dada por
9x^2+4y^2-36=0
e determine os seus elementos (centro, vértices, focos, excentricidade etc.). O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos reescrever na forma padrão e daí extrair parâmetros como a, b, c.

Passo 2

Isolamos a equação dividindo ambos os lados por 36 para obter a forma padrão
x^24 + y^29 = 1

Passo 3

Reconhecemos que está na forma
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
com a^2=9 e b^2=4. Como a>b, trata-se de uma elipse cujo eixo maior é vertical. Calculamos
a = 3, b = 2, c = raiza^2-b^2 = raiz9-4 = raiz5

Passo 4

Agora extraímos os elementos principais da elipse:
O centro está em (0,0).
Os vértices (extremos do eixo maior) são
(0,a)=(0,3)e(0,-3)
Os co-vértices (extremos do eixo menor) são
(b,0)=(2,0)e(-2,0)
Os focos estão ao longo do eixo maior, em
(0,c)=(0,raiz5)e(0,-raiz5)
A excentricidade vale
e = ca = raiz53

Passo 5

Para esboçar o gráfico, desenhe uma elipse centrada na origem, mais “esticada” na vertical com altura total 2a=6 e largura total 2b=4, marcando também os focos no eixo y em pmraiz5.

Resposta

Classificação: elipse vertical.
Centro: (0,0).
Vértices: (0,3) e (0,-3).
Co-vértices: (2,0) e (-2,0).
Focos: (0,raiz5) e (0,-raiz5).
Excentricidade: e=raiz53.
Raio da semi-eixo maior: a=3.
Raio da semi-eixo menor: b=2.
Esboço: elipse centrada na origem, mais alta que larga, com focos no eixo y.

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