Estabeleça a equação da hipérbole e esboce o gráfico a partir dos elementos dados.
Centro C(0,0), focos F(0, pm 5) e vértice A(0, pm 3);

Passo 1

O enunciado pede a equação e o esboço de uma hipérbole com centro em C(0,0), focos em F(0,pm5) e vértices em A(0,pm3). O conteúdo aqui é a forma canônica da hipérbole e a relação entre os parâmetros a, b e c, onde a é o semi-eixo transverse, c a distância do centro aos focos, e b satisfaça c^2 = a^2 + b^2.

Passo 2

Como os focos e os vértices estão sobre o eixo y, a hipérbole abre para cima e para baixo, e sua forma canônica é
y^2a^2 ;-;x^2b^2 ;=;1

Passo 3

Dos vértices em (0,pm3) tiramos
a = 3
Dos focos em (0,pm5) tiramos
c = 5
Usando a relação
c^2 = a^2 + b^2
temos
5^2 = 3^2 + b^2 Longrightarrow 25 = 9 + b^2 Longrightarrow b^2 = 16 Longrightarrow b = 4

Passo 4

Substituindo a e b na forma canônica, obtemos
y^23^2 ;-;x^24^2 ;=;1 Longrightarrow boxedy^29 ;-;x^216 = 1

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque o centro em (0,0).
  2. Marque os vértices em (0,pm3).
  3. Marque os focos em (0,pm5).
  4. Desenhe as assíntotas, que têm equações y = pm ab,x Longrightarrow y = pm 34,x
  5. Cada ramo da hipérbole passa pelos vértices e se aproxima das assíntotas conforme lvert yrvert cresce.

Resposta

y^29 ;-;x^216 = 1,
com assíntotas y = pm tfrac34x e ramos abertos para cima e para baixo.

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