Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
5 cdot x^2+9 cdot y^2-45=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
5,x^2 + 9,y^2 - 45 = 0
e pede (i) classificar o tipo de cônica e (ii) determinar seus elementos principais (centro, semi-eixos, focos, vértices, excentricidade) e esboçar o gráfico. Vamos usar a técnica de levar à forma canônica dividindo tudo pelo termo independente.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão de elipse dividindo ambos os lados por 45:
5,x^245 + 9,y^245 = 1 Longrightarrow x^29 + y^25 = 1

Passo 3

Ao comparar com a forma genérica de elipse
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
vemos que
a^2 = 9, b^2 = 5
Como ambos são positivos, trata-se de uma elipse centrada em (0,0). O maior semi-eixo a fica alinhado ao eixo x, pois a^2=9>b^2=5.

Passo 4

Calculo os semi-eixos e o centro:
a = raiz9 = 3, b = raiz5, centro (0,0)

Passo 5

Determino os vértices e a excentricidade. Os vértices no eixo maior (eixo x) são
(pm a,0) = (pm 3,0),
e no eixo menor (eixo y) são
(0,pm b) = l(0,pm raiz5r)
A excentricidade é
c = raiza^2-b^2 = raiz9-5 = 2, e = ca = 23

Passo 6

Encontro os focos: ficam ao longo do eixo maior a distância c do centro, isto é,
(pm c,0) = (pm 2,0)
Pronto, temos todos os elementos.

Resposta

Classificação: elipse com centro em (0,0).
Semi-eixos: a=3, b=raiz5.
Vértices: (pm 3,0) e l(0,pmraiz5r).
Focos: (pm 2,0).
Excentricidade: e=2/3.
Gráfico: elipse alongando 3 unidades no x e raiz5 unidades no y, centrada na origem.

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