Em cada uma das equações classifique as cônicas e obtenha seus elementos (parábola: eixo de simetria, foco, diretriz, vértice; elipse: focos, centro, vértices, excentricidade; círculo: centro e raio e hipérbole: focos, assíntotas, centro, vértices e a excentricidade). Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a equação da cônica
e pede (i) classificar o tipo de cônica e (ii) determinar seus elementos principais (centro, semi-eixos, focos, vértices, excentricidade) e esboçar o gráfico. Vamos usar a técnica de levar à forma canônica dividindo tudo pelo termo independente.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão de elipse dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Ao comparar com a forma genérica de elipse
vemos que
Como ambos são positivos, trata-se de uma elipse centrada em
. O maior semi-eixo
fica alinhado ao eixo
, pois
.
Passo 4
Calculo os semi-eixos e o centro:
Passo 5
Determino os vértices e a excentricidade. Os vértices no eixo maior (eixo
) são
e no eixo menor (eixo
) são
A excentricidade é
Passo 6
Encontro os focos: ficam ao longo do eixo maior a distância
do centro, isto é,
Pronto, temos todos os elementos.
Resposta
Classificação: elipse com centro em
.
Semi-eixos: ,
.
Vértices: e
.
Focos: .
Excentricidade: .
Gráfico: elipse alongando 3 unidades no e
unidades no
, centrada na origem.
Semi-eixos:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Gráfico: elipse alongando 3 unidades no