Esboce a região delimitada pelas curvas y=4-x^{2} e y=x+2. Depois calcule a área da região encontrada.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região comum à parábola y=4-x^{2} e à reta y=x+2, e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conceitos de interseção de curvas e de área via integral definida de diferenças de funções.

Passo 2

Para encontrar onde as curvas se cruzam, igualamos
4 - x^{2} \;=\; x + 2.
Isso leva a
x^{2} + x - 2 = 0,
cuja solução é
x = 1 \quad\text{ou}\quad x = -2.
Os pontos de interseção são (-2,0) e \bigl(1,3\bigr).

Passo 3

Para ver quem fica acima de quem entre x=-2 e x=1, analisamos a diferença
(4 - x^{2}) - (x + 2) = 2 - x - x^{2}.
Num valor teste, digamos x=0, obtemos 2 - 0 - 0 = 2>0, ou seja, a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 4

A área da região é a integral de \bigl[\text{topo}\,-\,\text{base}\bigr] de -2 a 1:
\text{Área} =\int_{-2}^{1}\bigl[(4 - x^{2}) - (x + 2)\bigr]\,dx =\int_{-2}^{1}(2 - x - x^{2})\,dx.Á
Uma primitiva de 2 - x - x^{2} é
F(x)=2x - \tfrac{x^{2}}{2} - \tfrac{x^{3}}{3}.
Logo,
\text{Área} =F(1)-F(-2).Á
Calculando,
F(1)=2\cdot1 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = 2 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{6},
F(-2)=2\cdot(-2) - \tfrac{(-2)^2}{2} - \tfrac{(-2)^3}{3} =-4 - 2 + \tfrac{8}{3} =-6 + \tfrac{8}{3} =-\tfrac{10}{3}.
Portanto,
\text{Área} =\tfrac{7}{6} - \bigl(-\tfrac{10}{3}\bigr) =\tfrac{7}{6} + \tfrac{20}{6} =\tfrac{27}{6} =\tfrac{9}{2}.Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é \displaystyle \frac{9}{2}.

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