Esboce a região delimitada pelas curvas y=x^{2} e y=2 x-x^{2}. Depois calcule a área da região encontrada.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
y = x^{2}
e
y = 2x - x^{2}
e depois calcular a área dessa região. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre duas curvas no plano xy. Para resolver, vamos (1) encontrar as interseções, (2) identificar qual curva está acima, (3) montar a integral da diferença e (4) calculá-la.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^{2} = 2x - x^{2}
que leva a
2x^{2} - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x - 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = 1.

Passo 3

Entre x=0 e x=1, avaliamos quem está acima. Por exemplo, em x=\tfrac12:
x^{2} = \bigl(\tfrac12\bigr)^{2} = \tfrac14, \quad 2x - x^{2} = 1 - \tfrac14 = \tfrac34,
logo y = 2x - x^{2} é a fronteira superior e y = x^{2} a inferior. Graficamente, uma é parábola para baixo com vértice em (1,1) e a outra é parábola para cima com vértice em (0,0), formando uma região em forma de lente.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{0}^{1} \bigl[(2x - x^{2}) - x^{2}\bigr]\,dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^{2})\,dx.
Calculando,
\int (2x - 2x^{2})\,dx = x^{2} - \tfrac{2}{3}x^{3} \quad\Longrightarrow\quad A = \Bigl[x^{2} - \tfrac{2}{3}x^{3}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(1 - \tfrac{2}{3}\bigr) - 0 = \tfrac{1}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{1}{3}.

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