Em quais pontos a função f(x)=x^{5}-4 x \cdot e^{x} apresenta reta tangente horizontal?

Passo 1

O enunciado pede os pontos de tangente horizontal de
f(x)=x^{5}-4x\,e^{x}.
Teremos de calcular a derivada f'(x), impor f'(x)=0 e resolver essa equação (transcendental) por análise de sinais e método numérico.

Passo 2

Usando regra do poder e do produto,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)-4\,\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{x}\bigr) =5x^{4}-4\bigl(e^{x}+x\,e^{x}\bigr) =5x^{4}-4e^{x}(x+1).

Passo 3

Igualando a zero, vem
5x^{4}-4e^{x}(x+1)=0,
que é transcendental, sem solução fechada. Fazemos análise de sinais para achar intervalos com mudança de sinal de f'(x):
– Em x=-1, f'(-1)=5-4e^{-1}\cdot0>0.
– Em x=0, f'(0)=-4<0.
Logo há uma raiz em (-1,0).
– Em x=2, f'(2)=80-12e^{2}\approx-8{,}7<0.
– Em x=3, f'(3)=405-16e^{3}\approx83{,}6>0.
Logo há outra raiz em (2,3).

Passo 4

Raiz em (-1,0) por bisseção:
f'(-1)>0, f'(0)<0.
Escolhendo sucessivos pontos médios e refinando o intervalo, chega-se a
x_1\approx -0{,}632.

Passo 5

Raiz em (2,3) por bisseção:
f'(2)<0, f'(3)>0.
Refinando o intervalo, obtemos
x_2\approx 2{,}182.

Passo 6

Para determinar os pontos completos, calculamos f(x) em cada raiz:
f(-0{,}632)\approx1{,}245
e
f(2{,}182)\approx-27{,}972.

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é horizontal são aproximadamente
(-0{,}632,\;1{,}245) \quad\text{e}\quad (2{,}182,\;-27{,}972).

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