Encontre uma equação da reta tangente no ponto indicado:
f(x)=5^{x^{2}-2 x+9}, \mathrm{x}=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
f(x)=5^{x^{2}-2x+9}
no ponto em que x=1. Para isso, precisamos (1) calcular o ponto \bigl(1,\,f(1)\bigr) e (2) obter a derivada f'(x) para achar o coeficiente angular m=f'(1). Em seguida, usamos a fórmula da reta tangente
y - f(1) = m\,(x-1).

Passo 2

Calculando o valor de f em x=1:
f(1)=5^{1^{2}-2\cdot1+9}=5^{1-2+9}=5^{8}.

Passo 3

Para achar f'(x), definimos
u(x)=x^{2}-2x+9,
de modo que f(x)=5^{u(x)}. Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) =5^{u(x)}\,\ln(5)\,\cdot u'(x).
E como
u'(x)=2x-2,
temos
f'(x)=5^{\,x^{2}-2x+9}\,\ln(5)\,\bigl(2x-2\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos a derivada em x=1:
u'(1)=2\cdot1-2=0 \quad\Longrightarrow\quad f'(1)=5^{8}\,\ln(5)\,\times0=0.
Logo, o coeficiente angular da reta tangente é m=0.

Passo 5

Usando a fórmula da reta tangente com m=0 e o ponto \bigl(1,5^{8}\bigr):
y - 5^{8}=0\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=5^{8}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y=5^{8}.

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