Para cada uma das equações não-homogêneas dadas abaixo:
I) Verifique se yp é uma solução da equação não-homogênea;
II) Encontre a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente;
a) y^prime prime+4 y=t, com yp(t)=t4
iII) Encontre a solução geral da equação não-homogênea. (y(t)=yp(t)+yh(t), onde yp é a solução da equação não - homogênea e yh é a solução da equação homogênea correspondente)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial não-homogênea
y'' + 4y = t
e sugere como palpite de solução particular yp(t)=t4. Precisamos:
I) verificar se yp satisfaz a equação original;
II) encontrar a solução geral da equação homogênea y''+4y=0;
III) combinar as duas para obter a solução geral não-homogênea.

Passo 2

Para verificar se yp é realmente solução particular, calculemos suas derivadas:
yp'(t)= ddtl( t4r)=14,
yp''(t)= ddtl(14r)=0
Substituindo em y''+4y:
yp''+4yp = 0 + 4cdot t4 = t,
que coincide com o lado direito da equação. Logo, ,yp(t)=tfrac t4 é de fato uma solução particular.

Passo 3

A parte homogênea associada é
y'' + 4y = 0
Escrevendo a equação característica:
r^2 + 4 = 0 Longrightarrow r = pm 2i
Portanto a solução geral da homogênea é
yh(t) = Acos(2t) + Bsin(2t),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t) + t4

Resposta

y(t) = Acos(2t) + Bsin(2t) + t4

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