Para cada uma das equações não-homogêneas dadas abaixo:
I) Verifique se
é uma solução da equação não-homogênea;
II) Encontre a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente;
a)
iII) Encontre a solução geral da equação não-homogênea.
, onde
é a solução da equação não - homogênea e
é a solução da equação homogênea correspondente)
I) Verifique se
II) Encontre a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente;
a)
iII) Encontre a solução geral da equação não-homogênea.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial não-homogênea
e sugere como palpite de solução particular
. Precisamos:
I) verificar se satisfaz a equação original;
II) encontrar a solução geral da equação homogênea ;
III) combinar as duas para obter a solução geral não-homogênea.
I) verificar se
II) encontrar a solução geral da equação homogênea
III) combinar as duas para obter a solução geral não-homogênea.
Passo 2
Para verificar se
é realmente solução particular, calculemos suas derivadas:
Substituindo em
:
que coincide com o lado direito da equação. Logo,
é de fato uma solução particular.
Passo 3
A parte homogênea associada é
Escrevendo a equação característica:
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular: