Determine a reta tangente à trajetória de G no ponto G(t0) indicado:
G(t)=(cos (t), sen(t), t), G(pi / 3)

Passo 1

A reta tangente a uma curva paramétrica G(t) em t=t0 passa pelo ponto G(t0) e tem direção dada pelo vetor derivada G'(t0). No nosso caso, G(t)=(cos(t),sin(t),t) e t0=pi/3.

Passo 2

Vamos achar primeiro o ponto de apoio calculando G(pi/3). Sabendo que cos(pi/3)=1/2 e sin(pi/3)=raiz3/2, temos
Gl(pi/3r)=l(tfrac12,,tfracraiz32,,tfracpi3r)

Passo 3

Para obter o vetor tangente geral, derivamos cada componente de G(t):
G'(t)=l(-sin(t),,cos(t),,1r)

Passo 4

Agora avaliamos em t=pi/3. Como sin(pi/3)=raiz3/2 e cos(pi/3)=1/2,
G'l(pi/3r)=l(-tfracraiz32,,tfrac12,,1r)

Passo 5

Com o ponto P=G(pi/3) e o vetor direção v=G'(pi/3), a equação paramétrica da reta tangente é
L(s)=P + s,v =l(tfrac12,,tfracraiz32,,tfracpi3r) + sl(-tfracraiz32,,tfrac12,,1r)

Resposta

Equação paramétrica da reta tangente:
ell(s)=l(tfrac12,,tfracraiz32,,tfracpi3r) + sl(-tfracraiz32,,tfrac12,,1r)

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