- Mostre que todo polinômio de grau ímpar
admite pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo polinômio de grau ímpar
com
ímpar e
, admite ao menos uma raiz real.
Conteúdo: comportamento assintótico de polinômios, continuidade e Teorema do Valor Intermediário.
Conteúdo: comportamento assintótico de polinômios, continuidade e Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Como
é ímpar, podemos escrever
. O termo de maior grau é
. Sabemos que
Portanto, quando
,
tem o mesmo sinal de
; e quando
, como
,
tem sinal oposto a
.
Passo 3
Em particular, escolhemos um
suficientemente grande de modo que
tenham o mesmo sinal, e um
de modo que
tenham sinais contrários. Assim,
.
Passo 4
O polinômio
é função contínua em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
e
têm sinais opostos, existe
tal que
Resposta
O polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.