1. Mostre que todo polinômio de grau ímpar a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n admite pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo polinômio de grau ímpar
f(x)=a0+a1x+a2x^2+cdots+anx^n,
com n ímpar e anneq0, admite ao menos uma raiz real.
Conteúdo: comportamento assintótico de polinômios, continuidade e Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Como n é ímpar, podemos escrever n=2k+1. O termo de maior grau é anx^n. Sabemos que
limxto+inftyf(x)x^n=an, limxto-inftyf(x)x^n=an
Portanto, quando xto+infty, f(x) tem o mesmo sinal de an; e quando xto-infty, como x^nto-infty, f(x) tem sinal oposto a an.

Passo 3

Em particular, escolhemos um X>0 suficientemente grande de modo que
f(X) e an
tenham o mesmo sinal, e um -X de modo que
f(-X) e an
tenham sinais contrários. Assim, f(-X)cdot f(X)<0.

Passo 4

O polinômio f é função contínua em R. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f(-X) e f(X) têm sinais opostos, existe cin(-X,X) tal que
f(c)=0

Resposta

O polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.

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