Calcule os seguintes limites:
lim x 0 sec (x)-1x^2 cdot sec (x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto 0sec(x)-1x^2,sec(x).
Este limite apresenta a forma tfrac00, então vamos usar transformações algébricas e identidades trigonométricas para resolvê-lo.

Passo 2

Usando sec(x)=1/cos(x), reescrevemos o quociente:
sec(x)-1x^2sec(x) = 1cos(x)-1x^2,1cos(x) = 1-cos(x)x^2

Passo 3

Aplicamos a identidade
1-cos(x)=2sin^2!l(tfracx2r)
para obter
1-cos(x)x^2 = 2sin^2!l(tfracx2r)x^2 = 2l(sin(x/2)x/2r)^2cdot(x/2)^2x^2 = tfrac12l(sin(x/2)x/2r)^2

Passo 4

Como
limxto0sin(x/2)x/2=1,
concluímos que
limxto0sec(x)-1x^2sec(x) =tfrac12

Resposta

tfrac12

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