Para cada uma das equações não-homogêneas dadas abaixo:
I) Verifique se
é uma solução da equação não-homogênea;
II) Encontre a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente;
III) Encontre a solução geral da equação não-homogênea.
,onde
é a solução da equação não - homogênea e
é a solução da equação homogênea correspondente)
a)
,
b)
com
I) Verifique se
II) Encontre a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente;
III) Encontre a solução geral da equação não-homogênea.
a)
b)
Passo 1
O enunciado trata de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para cada caso queremos:
- Verificar se a proposta
realmente satisfaz a equação não-homogênea. - Resolver a homogênea associada obtendo
via equação característica. - Combinar para achar a solução geral da não-homogênea
Passo 2
Para (a)
Calculamos
Substituindo na equação:
que coincide com o lado direito. Logo
é solução particular.
Passo 3
A homogênea associada é
A equação característica é
de onde
Passo 4
Somando as partes particular e homogênea, a solução geral de (a) é
Passo 5
Para (b)
Calculamos
Então
que não é igual a
. Portanto
não satisfaz a não-homogênea.
Passo 6
A homogênea associada é
A equação característica
logo
Passo 7
Como a proposta falhou, buscamos uma nova
. Então
e
Assim
e a solução geral de (b) é
Resposta
Para (a):
Para (b):