Para cada uma das equações não-homogêneas dadas abaixo:
I) Verifique se yp é uma solução da equação não-homogênea;
II) Encontre a solução geral da equação diferencial homogênea correspondente;
III) Encontre a solução geral da equação não-homogênea. (y(t)=yp(t)+yh(t),onde yp é a solução da equação não - homogênea e yh é a solução da equação homogênea correspondente)
a) y^prime prime+4 y=t, com yp(t)=t4
b) y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 t, com yp(t)=-e^-2 t

Passo 1

O enunciado trata de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para cada caso queremos:
  1. Verificar se a proposta yp realmente satisfaz a equação não-homogênea.
  2. Resolver a homogênea associada obtendo yh via equação característica.
  3. Combinar para achar a solução geral da não-homogênea
y(t)=yp(t)+yh(t)

Passo 2

Para (a)
y''+4y=t, yp(t)=t4
Calculamos
yp'(t)=14, yp''(t)=0
Substituindo na equação:
yp''+4yp=0 +4cdott4=t,
que coincide com o lado direito. Logo yp(t)=t/4 é solução particular.

Passo 3

A homogênea associada é
y''+4y=0
A equação característica é
r^2+4=0 Longrightarrow r=pm2i,
de onde
yh(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 4

Somando as partes particular e homogênea, a solução geral de (a) é
y(t)=t4+C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 5

Para (b)
y''-2y'-3y=3e^2t, yp(t)=-e^-2t
Calculamos
yp'(t)=2e^-2t, yp''(t)=-4e^-2t
Então
yp''-2yp'-3yp =(-4-4+3)e^-2t=-5e^-2t,
que não é igual a 3e^2t. Portanto yp(t)=-e^-2t não satisfaz a não-homogênea.

Passo 6

A homogênea associada é
y''-2y'-3y=0
A equação característica
r^2-2r-3=0 Longrightarrow r=3,;-1,
logo
yh(t)=C1e^3t+C2e^-t

Passo 7

Como a proposta falhou, buscamos uma nova yp(t)=Ae^2t. Então
yp'=2Ae^2t, yp''=4Ae^2t,
e
yp''-2yp'-3yp =(4-4-3)Ae^2t=-3Ae^2t stackrel!=3e^2t ;Longrightarrow;A=-1
Assim yp(t)=-e^2t e a solução geral de (b) é
y(t)=C1e^3t+C2e^-t-e^2t

Resposta

Para (a):
yp(t)=t4é solução, éçã
yh(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t),
y(t)=t4+C1cos(2t)+C2sin(2t)
Para (b):
yp(t)=-e^-2tnão satisfaz a equação, ãçã
yh(t)=C1e^3t+C2e^-t,
yp(t)=-e^2t, y(t)=C1e^3t+C2e^-t-e^2t

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