Q4. Resolva o PVI x^prime prime+2 x^prime+9 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI x''+2x'+9x=0 com as condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=1. Isso cai em Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes: vamos montar a equação característica, achar suas raízes, escrever a solução geral e, por fim, aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à EDO homogênea:
r^2+2r+9=0

Passo 3

Resolvendo-a pelo discriminante, temos
r=-1pmraiz1-9=-1pm2raiz2,i

Passo 4

Como as raízes são complexas r=-1pm2raiz2,i, a solução geral é
x(t)=e^-tl(C1cos(2raiz2,t)+C2sin(2raiz2,t)r)

Passo 5

Derivando essa expressão em relação a t, obtemos
x'(t)=e^-tl(-C1cos(2raiz2t)-C2sin(2raiz2t)r)+e^-tl(-2raiz2C1sin(2raiz2t)+2raiz2C2cos(2raiz2t)r)

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para achar C1 e C2:
Pela condição x(0)=1 na solução geral, vem C1=1.
Pela condição x'(0)=1 na derivada, temos -C1+2raiz2C2=1, ou seja, -1+2raiz2C2=1, resultando em C2=tfrac1raiz2.

Passo 7

Substituindo C1 e C2 na solução geral, chegamos à solução particular do PVI.

Resposta

x(t)=e^-tl(cosl(2raiz2tr)+tfrac1raiz2sinl(2raiz2tr)r)

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