Q5. Resolva o PVI x^prime prime+8 x^prime+16 x=0, x(0)=1, x^prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI de segunda ordem x''+8x'+16x=0 com condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=-1. O conteúdo é equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar a equação característica para achar a solução geral e depois ajustar as constantes via condições iniciais.

Passo 2

Associamos a equação diferencial à equação característica r^2+8r+16=0. Calculando o discriminante: De<a=8^2-4cdot1cdot16=64-64=0, logo há raiz dupla r=-4.

Passo 3

Como a raiz r=-4 é dupla, a solução geral é dada por x(t)=(C1 + C2,t)e^-4t, onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Usando x(0)=1 temos C1=1. Derivando x(t) temos x'(t)=C2e^-4t -4(C1 + C2t)e^-4t. Avaliando em t=0: x'(0)=C2 -4C1=-1 leva a C2-4cdot1=-1, portanto C2=3.

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=3 na solução geral, obtemos x(t)=(1+3t)e^-4t.

Resposta

x(t)=(1+3t)e^-4t

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