Exercício II.12: Prove que o conjunto dos vetores
também é uma base em
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que o conjunto de vetores
e
é uma base de
. Para isso precisamos mostrar dois pontos centrais de teoria de bases em espaços vetoriais de dimensão finita:
- os vetores são linearmente independentes;
- eles geram (span) todo
.
Passo 2
Mostrando que
e
são linearmente independentes. Considere a combinação linear nula
Escrevendo em coordenadas, isso dá o sistema
Da segunda equação vem
e, inserindo na primeira,
. Logo só a combinação trivial anula a soma, o que prova a independência linear de
e
.
Passo 3
Mostrando que
e
geram
. Seja um vetor arbitrário
. Queremos achar
tais que
Em coordenadas, isso impõe
Da segunda equação
. Substituindo na primeira, obtemos
. Portanto
o que mostra que qualquer vetor de
é combinação de
e
.
Passo 4
Como temos exatamente dois vetores em um espaço de dimensão 2, a independência linear já garante a base, mas mostramos também explicitamente que o span é todo o espaço. Com isso concluímos que
é uma base de
.
Resposta
O conjunto
forma uma base de
.