Exercício II.12: Prove que o conjunto dos vetores v1=(1,0), v2=(1,1) também é uma base em R^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que o conjunto de vetores v1=(1,0) e v2=(1,1) é uma base de R^2. Para isso precisamos mostrar dois pontos centrais de teoria de bases em espaços vetoriais de dimensão finita:
  1. os vetores são linearmente independentes;
  2. eles geram (span) todo R^2.

Passo 2

Mostrando que v1 e v2 são linearmente independentes. Considere a combinação linear nula
alpha,v1+beta,v2=(0,0)
Escrevendo em coordenadas, isso dá o sistema
alpha+beta=0, beta=0
Da segunda equação vem beta=0 e, inserindo na primeira, alpha=0. Logo só a combinação trivial anula a soma, o que prova a independência linear de v1 e v2.

Passo 3

Mostrando que v1 e v2 geram R^2. Seja um vetor arbitrário (x,y)inR^2. Queremos achar alpha,beta tais que
alpha,v1+beta,v2=(x,y)
Em coordenadas, isso impõe
alpha+beta=x, beta=y
Da segunda equação beta=y. Substituindo na primeira, obtemos alpha=x-y. Portanto
(x,y)=(x-y),v1+y,v2,
o que mostra que qualquer vetor de R^2 é combinação de v1 e v2.

Passo 4

Como temos exatamente dois vetores em um espaço de dimensão 2, a independência linear já garante a base, mas mostramos também explicitamente que o span é todo o espaço. Com isso concluímos que v1,v2 é uma base de R^2.

Resposta

O conjunto (1,0),(1,1) forma uma base de R^2.

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