Exercício II.13: Prove que o conjunto dos vetores
, ,
é uma base em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos vetores
é uma base de . O que precisamos usar é a definição de base: um subconjunto de um espaço vetorial que seja ao mesmo tempo gerador (span) e linearmente independente.
é uma base de
Passo 2
Mostramos primeiro que
gera
. Seja
Note que
Logo, qualquer vetor de
é combinação linear de
, ou seja, o span é todo
.
Passo 3
Mostramos agora que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
O lado esquerdo tem primeira coordenada
, segunda
etc. Igualando a zero em cada coordenada, obtemos
Portanto, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, logo os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como
é ao mesmo tempo gerador de
e linearmente independente, concluímos, pela definição, que é base de
.
Resposta
O conjunto
é uma base de
.