Exercício II.13: Prove que o conjunto dos vetores v1=(1,0, ldots, 0), v2=(0,1,0, ldots), ldots, , vN=(0,0, ldots, 1) é uma base em R^N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto dos vetores
;v1=(1,0,ldots,0),;v2=(0,1,0,ldots,0),;ldots,;vN=(0,0,ldots,1)
é uma base de R^N. O que precisamos usar é a definição de base: um subconjunto de um espaço vetorial que seja ao mesmo tempo gerador (span) e linearmente independente.

Passo 2

Mostramos primeiro que v1,dots,vN gera R^N. Seja
x=(x1,x2,dots,xN)in R^N
Note que
x = x1(1,0,dots,0) + x2(0,1,0,dots,0) + cdots + xN(0,0,dots,1) = x1v1 + x2v2 + cdots + xNvN
Logo, qualquer vetor de R^N é combinação linear de v1,dots,vN, ou seja, o span é todo R^N.

Passo 3

Mostramos agora que v1,dots,vN é linearmente independente. Suponha que existam escalares a1,dots,aN tais que
a1v1 + a2v2 + cdots + aNvN = (0,0,dots,0)
O lado esquerdo tem primeira coordenada a1, segunda a2 etc. Igualando a zero em cada coordenada, obtemos
a1=0, a2=0,;dots,;aN=0
Portanto, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como v1,dots,vN é ao mesmo tempo gerador de R^N e linearmente independente, concluímos, pela definição, que é base de R^N.

Resposta

O conjunto v1,v2,dots,vN é uma base de R^N.

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