Para cada uma das equações das parábolas, determinar o foco, equação da reta diretriz, bem como fazer o gráfico.
2 x^{2}-7 y=0

Passo 1

O enunciado dá a parábola
2x^{2}-7y=0
e pede o foco, a reta diretriz e o gráfico. O conteúdo aqui é reconhecimento da forma padrão de uma parábola com vértice na origem e eixo de simetria vertical, que pode ser escrita como
y=\frac{1}{4p}\,x^{2},
onde p é a distância do vértice ao foco (e também à diretriz, em sinal oposto).

Passo 2

Isolando y em 2x^{2}-7y=0 obtemos
y=\frac{2}{7}\,x^{2}.
Comparando com
y=\frac{1}{4p}\,x^{2},
vemos que
\frac{1}{4p}=\frac{2}{7} \quad\Longrightarrow\quad 4p=\frac{7}{2} \quad\Longrightarrow\quad p=\frac{7}{8}.

Passo 3

Como o vértice está em (0,0) e o eixo de simetria é vertical, o foco fica a uma distância p acima do vértice e a diretriz é a reta horizontal a p abaixo dele. Logo,
Foco: \bigl(0,\tfrac{7}{8}\bigr)
Diretriz: y=-\tfrac{7}{8}.

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
– O vértice está em (0,0).
– A parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo).
– O foco \bigl(0,\tfrac{7}{8}\bigr) fica dentro da curva e a diretriz y=-\tfrac{7}{8} fica abaixo do vértice.
– O eixo de simetria é o eixo y.
Desenhe o eixo x e y, marque o foco e a diretriz e trace a curva suave que passa por (0,0) e se alarga conforme |x| cresce.

Resposta

Foco: \bigl(0,\tfrac{7}{8}\bigr)
Diretriz: y=-\tfrac{7}{8}

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