Determinar a equação padrão da curva cônica, quando for uma elipse e ou hipérbole determinar (centro, vértices e focos), quando for uma parábola determinar (vértice, foco e equação da diretriz). Fazer o esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a curva representada por
e, em seguida, obter sua equação padrão, identificar se é elipse, hipérbole ou parábola e achar seus elementos (centro, vértices, focos ou vértice, foco e diretriz). Aqui vamos usar o método de completar quadrados para reescrever a equação e reconhecer o tipo de cônica.
Passo 2
Agrupamos os termos em
e em
e completamos quadrados:
Agora
Substituindo:
Distribuindo e somando constantes:
Passo 3
Isolamos os quadrados para ver o formato padrão:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso mostra que é uma hipérbole com eixo transverso vertical, na forma
onde
Passo 4
Calculamos
e
:
O centro da hipérbole é o ponto
.
Passo 5
Para os focos, usamos
:
Os vértices, deslocados verticalmente do centro, são
e os focos são
Passo 6
Resumindo o esboço do gráfico:
- Centro em
. - Hipérbole abre para cima e para baixo (eixo vertical).
- Vértices em
e . - Focos em
e .
O gráfico consiste em dois ramos simétricos em torno do centro, com assíntotas de inclinação.
Resposta
Equação padrão:
Tipo: hipérbole
Centro:
Vértices:
Focos:
Esboço: ramo superior e ramo inferior com assíntotas passando pelo centro de inclinação .
Centro:
Vértices:
Focos:
Esboço: ramo superior e ramo inferior com assíntotas passando pelo centro de inclinação