Determinar a equação padrão da curva cônica, quando for uma elipse e ou hipérbole determinar (centro, vértices e focos), quando for uma parábola determinar (vértice, foco e equação da diretriz). Fazer o esboço do gráfico.
16 x^{2}-9 y^{2}-64 x-18 y+189=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a curva representada por
16x^{2}-9y^{2}-64x-18y+189=0
e, em seguida, obter sua equação padrão, identificar se é elipse, hipérbole ou parábola e achar seus elementos (centro, vértices, focos ou vértice, foco e diretriz). Aqui vamos usar o método de completar quadrados para reescrever a equação e reconhecer o tipo de cônica.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e completamos quadrados:
16x^{2}-64x \;-\;9y^{2}-18y \;+\;189=0
16\bigl(x^{2}-4x\bigr)\;-\;9\bigl(y^{2}+2y\bigr)\;+\;189=0
Agora
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4, \qquad y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Substituindo:
16\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)\;-\;9\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)\;+\;189=0.
Distribuindo e somando constantes:
16(x-2)^{2}-64\;-\;9(y+1)^{2}+9\;+\;189=0 \;\Longrightarrow\; 16(x-2)^{2}-9(y+1)^{2}+134=0.

Passo 3

Isolamos os quadrados para ver o formato padrão:
16(x-2)^{2}-9(y+1)^{2}=-134 \;\Longrightarrow\; 9(y+1)^{2}-16(x-2)^{2}=134.
Dividindo ambos os lados por 134:
\frac{(y+1)^{2}}{\tfrac{134}{9}} \;-\; \frac{(x-2)^{2}}{\tfrac{134}{16}} \;=\;1.
Isso mostra que é uma hipérbole com eixo transverso vertical, na forma
\frac{(y+1)^{2}}{a^{2}} - \frac{(x-2)^{2}}{b^{2}} =1
onde
a^{2}=\frac{134}{9}, \quad b^{2}=\frac{134}{16}.

Passo 4

Calculamos a e b:
a=\sqrt{\frac{134}{9}}=\frac{\sqrt{134}}{3}, \qquad b=\sqrt{\frac{134}{16}}=\frac{\sqrt{134}}{4}.
O centro da hipérbole é o ponto (2,-1).

Passo 5

Para os focos, usamos c^{2}=a^{2}+b^{2}:
c^{2}=\frac{134}{9}+\frac{134}{16} =\frac{134\cdot16+134\cdot9}{144} =\frac{134\cdot25}{144} =\frac{3350}{144} =\frac{1675}{72},
c=\sqrt{\frac{1675}{72}}=\frac{5\sqrt{67}}{6\sqrt{2}}\approx4{,}82.
Os vértices, deslocados verticalmente do centro, são
(2,\,-1\pm a) = \Bigl(2,-1\pm\frac{\sqrt{134}}{3}\Bigr),
e os focos são
(2,\,-1\pm c) \approx(2,-1\pm4{,}82).

Passo 6

Resumindo o esboço do gráfico:
  • Centro em (2,-1).
  • Hipérbole abre para cima e para baixo (eixo vertical).
  • Vértices em \bigl(2,-1+\tfrac{\sqrt{134}}{3}\bigr) e \bigl(2,-1-\tfrac{\sqrt{134}}{3}\bigr).
  • Focos em \bigl(2,-1+\tfrac{5\sqrt{67}}{6\sqrt{2}}\bigr) e \bigl(2,-1-\tfrac{5\sqrt{67}}{6\sqrt{2}}\bigr).
    O gráfico consiste em dois ramos simétricos em torno do centro, com assíntotas de inclinação \pm\frac{a}{b}=\pm\frac{\tfrac{\sqrt{134}}{3}}{\tfrac{\sqrt{134}}{4}}=\pm\frac{4}{3}.

Resposta

Equação padrão:
\frac{(y+1)^{2}}{\tfrac{134}{9}} \;-\; \frac{(x-2)^{2}}{\tfrac{134}{16}} =1.
Tipo: hipérbole
Centro: (2,-1)
Vértices: \Bigl(2,-1\pm\frac{\sqrt{134}}{3}\Bigr)
Focos: \Bigl(2,-1\pm\frac{5\sqrt{67}}{6\sqrt{2}}\Bigr)
Esboço: ramo superior e ramo inferior com assíntotas passando pelo centro de inclinação \pm\frac{4}{3}.

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