Determinar a equação padrão da curva cônica, quando for uma elipse e ou hipérbole determinar (centro, vértices e focos), quando for uma parábola determinar (vértice, foco e equação da diretriz). Fazer o esboço do gráfico.
3 x^{2}+2 y^{2}-12 x+8 y+19=0

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a curva
3x^{2}+2y^{2}-12x+8y+19=0
na sua forma padrão, identificar que tipo de cônica é (elipse, hipérbole ou parábola) e, como de fato é uma elipse, encontrar o centro, os vértices e os focos; por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Começamos completando quadrados em x e y:
3\bigl(x^{2}-4x\bigr)+2\bigl(y^{2}+4y\bigr)+19=0.
Em cada parêntese, adicionamos e subtraímos o termo correto:
3\bigl[(x-2)^{2}-4\bigr]+2\bigl[(y+2)^{2}-4\bigr]+19=0.
Distribuindo e juntando constantes:
3(x-2)^{2}-12 \;+\;2(y+2)^{2}-8 \;+\;19=0 \quad\Longrightarrow\quad 3(x-2)^{2}+2(y+2)^{2}-1=0.

Passo 3

Isolando o lado com as parcelas quadráticas, obtemos
3(x-2)^{2}+2(y+2)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^{2}}{1/3}+\frac{(y+2)^{2}}{1/2}=1.

Passo 4

Como ambas as parcelas são positivas e somam 1, trata-se de uma elipse centrada em (2,-2).
Definimos
a^{2}=\max\bigl\{1/3,\;1/2\bigr\}=1/2,\qquad b^{2}=\min\bigl\{1/3,\;1/2\bigr\}=1/3.
Aqui a=\sqrt{1/2} e b=\sqrt{1/3}, logo o eixo maior está na direção do eixo y.

Passo 5

O parâmetro focal satisfaz
c^{2}=a^{2}-b^{2}=\frac12-\frac13=\frac16,
portanto c=\sqrt{1/6}.
  • Centro: (2,-2).
  • Vértices (eixo maior, direção y):
(2,-2\pm a) =(2,-2\pm\sqrt{1/2}).
  • Focos (mesma direção):
(2,-2\pm c) =(2,-2\pm\sqrt{1/6}).

Passo 6

Esboço da elipse: \bullet Centro em (2,-2). \bullet Vértices acima e abaixo do centro por \sqrt{1/2}. \bullet Eixo menor horizontal com semi-eixo b=\sqrt{1/3}. \bullet Focos interiores aos vértices, na mesma reta vertical.

Resposta

Equação padrão:
\frac{(x-2)^{2}}{1/3}+\frac{(y+2)^{2}}{1/2}=1.
Centro: (2,-2).
Vértices: \bigl(2,-2\pm\sqrt{1/2}\bigr).
Focos: \bigl(2,-2\pm\sqrt{1/6}\bigr).
Esboço: elipse alongada verticalmente, centrada em (2,-2), com semi-eixos \sqrt{1/2} (vertical) e \sqrt{1/3} (horizontal).

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