Determinar a equação padrão da curva cônica, quando for uma elipse e ou hipérbole determinar (centro, vértices e focos), quando for uma parábola determinar (vértice, foco e equação da diretriz). Fazer o esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a curva
na sua forma padrão, identificar que tipo de cônica é (elipse, hipérbole ou parábola) e, como de fato é uma elipse, encontrar o centro, os vértices e os focos; por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Começamos completando quadrados em
e
:
Em cada parêntese, adicionamos e subtraímos o termo correto:
Distribuindo e juntando constantes:
Passo 3
Isolando o lado com as parcelas quadráticas, obtemos
Passo 4
Como ambas as parcelas são positivas e somam 1, trata-se de uma elipse centrada em
.
Definimos
Definimos
Aqui
e
, logo o eixo maior está na direção do eixo
.
Passo 5
O parâmetro focal satisfaz
portanto
.
- Centro:
. - Vértices (eixo maior, direção
):
- Focos (mesma direção):
Passo 6
Esboço da elipse:
Centro em
.
Vértices acima e abaixo do centro por
.
Eixo menor horizontal com semi-eixo
.
Focos interiores aos vértices, na mesma reta vertical.
Resposta
Equação padrão:
Centro:
.
Vértices: .
Focos: .
Vértices:
Focos:
Esboço: elipse alongada verticalmente, centrada em
, com semi-eixos
(vertical) e
(horizontal).