Cada uma das equações a seguir determina y como uma função implícita de x. A mesma equação permite também obter y como função explícita de x. Para cada equação pede-se:
(i) Encontrar d yd x usando derivação implícita.
(ii) Resolver a equação de modo a obter y explicitamente como função de x.
(iii) Calcular a derivada d yd x a partir da expressão obtida em (ii) e confirmar que a expressão obtida é a mesma do item (i).
8y=x^2+4

Passo 1

Temos a equação implícita 8y=x^2+4. O conteúdo é derivação implícita e manipulação algébrica para obter y explicitamente, seguido de derivada direta.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, lembrando que y=y(x):
ddxl(8y^-1r)=ddx(x^2+4)
Pelo lado esquerdo:
8cdot(-1)y^-2dydx=-8y^-2dydx
Pelo lado direito:
2x
Logo:
-8y^-2dydx=2x
Isolando dydx:
dydx=-2x8y^2=-x y^24

Passo 3

Isolando y na equação original:
8y=x^2+4
Multiplicando em cruz:
y=8x^2+4

Passo 4

Derivando agora a expressão explícita y=8(x^2+4)^-1:
dydx=8cdot(-1)(x^2+4)^-2cdot2x=-16x(x^2+4)^2
Substituindo y=8/(x^2+4) na expressão implícita -tfracx y^24 dá:
-x4l(8x^2+4r)^2=-16x(x^2+4)^2
que coincide com a derivada direta obtida acima.

Resposta

(i) dydx=-x y^24
(ii) y=8x^2+4
(iii) dydx=-16x(x^2+4)^2, que coincide com (i) ao substituir y.

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