Cada uma das equações a seguir determina
como uma função implícita de
. A mesma equação permite também obter
como função explícita de
. Para cada equação pede-se:
(i) Encontrar
usando derivação implícita.
(ii) Resolver a equação de modo a obter
explicitamente como função de
.
(iii) Calcular a derivada
a partir da expressão obtida em (ii) e confirmar que a expressão obtida é a mesma do item (i).
(i) Encontrar
(ii) Resolver a equação de modo a obter
(iii) Calcular a derivada
Passo 1
Temos a equação implícita
. O conteúdo é derivação implícita e manipulação algébrica para obter
explicitamente, seguido de derivada direta.
Passo 2
Derivando ambos os lados em relação a
, lembrando que
:
Pelo lado esquerdo:
Pelo lado direito:
Logo:
Isolando
:
Passo 3
Isolando
na equação original:
Multiplicando em cruz:
Passo 4
Derivando agora a expressão explícita
:
Substituindo
na expressão implícita
dá:
que coincide com a derivada direta obtida acima.
Resposta
(i)
(ii)
(iii) , que coincide com (i) ao substituir
.
(ii)
(iii)