Cada uma das equações a seguir determina y como uma função implícita de x. A mesma equação permite também obter y como função explícita de x. Para cada equação pede-se:
(i) Encontrar d yd x usando derivação implícita.
(ii) Resolver a equação de modo a obter y explicitamente como função de x.
(iii) Calcular a derivada d yd x a partir da expressão obtida em (ii) e confirmar que a expressão obtida é a mesma do item (i).
y^3=x^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede: temos a curva definida implicitamente por y^3 = x^2, e precisamos (i) achar dy/dx por diferenciação implícita, (ii) resolver a equação para obter y explicitamente em função de x e (iii) derivar essa expressão explícita para verificar que dá o mesmo resultado de (i).

Passo 2

Para a derivação implícita, diferenciamos ambos os lados de y^3 = x^2 em relação a x. Na esquerda usamos a regra da cadeia: a derivada de y^3 é 3y^2cdot (dy/dx). Na direita, a derivada de x^2 é 2x. Logo temos
3y^2dydx = 2x
Isolando dy/dx:
dydx = 2x3y^2

Passo 3

Agora vamos obter y explicitamente. Basta resolver
$$y^3 = x^2
y^3 = x^2 úy = (x2){1/3} = x^{2/3}.$$

Passo 4

Com a forma explícita y = x^2/3, aplicamos a regra do poder para derivar:
dydx = 23x^2/3 - 1 = 23x^-1/3

Passo 5

Para confirmar que bate com a derivada implícita, substituímos y = x^2/3 em 2x/(3y^2):
2x3y^2 = 2x3(x^2/3)^2 = 2x3x^4/3 = 23x^-1/3,
que é exatamente o resultado obtido derivando explicitamente. Isso mostra que tudo confere!

Resposta

dydx = 2x3y^2

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