Cada uma das equações a seguir determina
como uma função implícita de
. A mesma equação permite também obter
como função explícita de
. Para cada equação pede-se:
(i) Encontrar
usando derivação implícita.
(ii) Resolver a equação de modo a obter
explicitamente como função de
.
(iii) Calcular a derivada
a partir da expressão obtida em (ii) e confirmar que a expressão obtida é a mesma do item (i).
(i) Encontrar
(ii) Resolver a equação de modo a obter
(iii) Calcular a derivada
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede: temos a curva definida implicitamente por
, e precisamos (i) achar
por diferenciação implícita, (ii) resolver a equação para obter
explicitamente em função de
e (iii) derivar essa expressão explícita para verificar que dá o mesmo resultado de (i).
Passo 2
Para a derivação implícita, diferenciamos ambos os lados de
em relação a
. Na esquerda usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Na direita, a derivada de
é
. Logo temos
Isolando
Passo 3
Agora vamos obter
explicitamente. Basta resolver
$$y^3 = x^2
Passo 4
Com a forma explícita
, aplicamos a regra do poder para derivar:
Passo 5
Para confirmar que bate com a derivada implícita, substituímos
em
:
que é exatamente o resultado obtido derivando explicitamente. Isso mostra que tudo confere!