Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdots cdot cdots cdot(2 n) x^n

Passo 1

O enunciado pede para achar o maior intervalo (ou raio) de convergência da série de potências
sumn=1^infty n^22cdot4cdots(2n),x^n
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar principalmente o teste da razão para determinar o raio de convergência. Além disso, precisamos saber simplificar o produto dos primeiros n números pares.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o coeficiente geral. Note que
$$2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^{n}(1\cdot2\cdot3\cdots n)=2^{n},n!.
2cdot4cdot6cdots(2n)=2^n(1cdot2cdot3cdots n)=2^n,n! a_n xn=\frac{n2}{2n,n!},xn.$$

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão. Calculamos
limntoinfty|an+1,x^n+1an,x^n| =|x|limntoinfty(n+1)^22^n+1(n+1)!cdot2^n n!n^2 =|x|limntoinfty(n+1)^2n^2cdot12cdot1n+1
Simplificando, dentro do limite temos
(n+1)^2n^2cdot12(n+1)=n+12n^2approx12n,
portanto

Passo 4

limntoinfty|an+1x^n+1an x^n|=|x|cdot0=0
Como no teste da razão o critério de convergência é L<1, aqui L=0<1 para qualquer valor de x. Isso significa que a série converge absolutamente para todo x real.

Passo 5

Como o raio de convergência é infinito, o intervalo de convergência máximo é todo o eixo real.

Resposta

(-\infty,,\infty)

Exercícios relacionados