Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar o maior intervalo (ou raio) de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar principalmente o teste da razão para determinar o raio de convergência. Além disso, precisamos saber simplificar o produto dos primeiros n números pares.
Passo 2
Primeiro, simplificamos o coeficiente geral. Note que
$$2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^{n}(1\cdot2\cdot3\cdots n)=2^{n},n!.
Passo 3
Agora aplicamos o teste da razão. Calculamos
Simplificando, dentro do limite temos
portanto
Passo 4
Como no teste da razão o critério de convergência é L<1, aqui L=0<1 para qualquer valor de x. Isso significa que a série converge absolutamente para todo x real.
Passo 5
Como o raio de convergência é infinito, o intervalo de convergência máximo é todo o eixo real.
Resposta
(-\infty,,\infty)