Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o intervalo máximo de convergência da série de potências
Isso envolve o conteúdo de séries de potências e raio de convergência, e vamos precisar usar a fórmula do produto dos números ímpares em termos de fatoriais e o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o produto dos ímpares em termos de fatoriais. Sabe-se que
Assim, o coeficiente geral fica
Passo 3
Agora aplicamos o teste da razão para a série . Calculamos
Tomando o limite para ntoinfty, obtemos
limntoinfty n+12n+1 |x| = 12 |x|,
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja
tfrac12|x| < 1 Longrightarrow |x| < 2,
Passo 4
Concluímos que o raio de convergência é R=2, logo o intervalo de convergência aberto é
(-2,2),
Passo 5
Para verificar os extremos, note que em x=2 o termo geral é
n!1cdot3cdots(2n-1),2^n = 4^n (n!)^2(2n)!,,
que, usando a aproximação da combinação central binom2nnsim4^nraizpi n, fica da ordem de raizpi n, que não tende a zero. Portanto diverge. O mesmo ocorre em x=-2 (os termos não vão a zero), então não há convergência nos extremos.