Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=1^infty n!1 cdot 3 cdot ldots(2 n-1) x^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo máximo de convergência da série de potências
sumn=1^infty n!1 cdot 3 cdot ldots (2n-1),x^n
Isso envolve o conteúdo de séries de potências e raio de convergência, e vamos precisar usar a fórmula do produto dos números ímpares em termos de fatoriais e o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o produto dos ímpares em termos de fatoriais. Sabe-se que
1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n)!2^n,n!,
Assim, o coeficiente geral fica
an = n!1cdot3cdots(2n-1) = n!(2n)!2^n n! = 2^n,(n!)^2(2n)!,

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão para a série sum an x^n. Calculamos
| an+1 x^n+1an x^n | = |x| cdot 2^n+1((n+1)!)^2/(2n+2)!2^n(n!)^2/(2n)! = |x| cdot n+12n+1,
Tomando o limite para ntoinfty, obtemos
limntoinfty n+12n+1 |x| = 12 |x|,
Pelo teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja
tfrac12|x| < 1 Longrightarrow |x| < 2,

Passo 4

Concluímos que o raio de convergência é R=2, logo o intervalo de convergência aberto é
(-2,2),

Passo 5

Para verificar os extremos, note que em x=2 o termo geral é
n!1cdot3cdots(2n-1),2^n = 4^n (n!)^2(2n)!,,
que, usando a aproximação da combinação central binom2nnsim4^nraizpi n, fica da ordem de raizpi n, que não tende a zero. Portanto diverge. O mesmo ocorre em x=-2 (os termos não vão a zero), então não há convergência nos extremos.

Resposta

O intervalo máximo de convergência é (-2, 2).

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