Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto especificado sabendo que cada equação determina
implicitamente como função diferenciável de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a reta tangente à curva definida implicitamente por
no ponto
. Vamos usar diferenciação implícita e a regra do quociente para achar
e depois montar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
. Do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, temos
. Do lado direito, aplicamos a regra do quociente a
e
:
Passo 3
Agora igualamos as derivadas e isolamos
:
Organizando o numerador:
Logo:
Passo 4
Agora avaliamos
no ponto
:
Passo 5
Com a inclinação
e sabendo que a reta tangente passa por
, usamos a forma ponto-inclinação:
Resposta
y - 1 = 2(x - 1)