Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=y(x) no ponto especificado sabendo que cada equação determina y implicitamente como função diferenciável de x
y^2=x^32-x ; (1,1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a reta tangente à curva definida implicitamente por
y^2 = x^32 - x
no ponto (1,1). Vamos usar diferenciação implícita e a regra do quociente para achar y' = dydx e depois montar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x. Do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, temos d(y^2)/dx = 2y,y'. Do lado direito, aplicamos a regra do quociente a f(x)=x^3 e g(x)=2-x:
ddxl(x^32 - xr) = 3x^2,(2 - x) - x^3,(-1)(2 - x)^2 = 3x^2(2 - x) + x^3(2 - x)^2

Passo 3

Agora igualamos as derivadas e isolamos y':
2y,y' = 3x^2(2 - x) + x^3(2 - x)^2
Organizando o numerador:
3x^2(2 - x) + x^3 = 6x^2 - 3x^3 + x^3 = 6x^2 - 2x^3 = 2x^2(3 - x)
Logo:
y' = 2x^2(3 - x)2y,(2 - x)^2 = x^2(3 - x)y,(2 - x)^2

Passo 4

Agora avaliamos y' no ponto (1,1):
x = 1, y = 1
y'(1,1) = 1^2(3 - 1)1,(2 - 1)^2 = 21 = 2

Passo 5

Com a inclinação m = 2 e sabendo que a reta tangente passa por (1,1), usamos a forma ponto-inclinação:
y - 1 = 2,(x - 1)

Resposta

y - 1 = 2(x - 1)

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