É possível ter uma transformação linear
que seja injetora e não sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
que seja injetora mas não sobrejetora.
O conteúdo chave é o Teorema do Núcleo e Imagem (também chamado Teorema da Dimensão ou Teorema da Riqueza), que relaciona as dimensões do espaço de partida, do núcleo e da imagem de .
que seja injetora mas não sobrejetora.
O conteúdo chave é o Teorema do Núcleo e Imagem (também chamado Teorema da Dimensão ou Teorema da Riqueza), que relaciona as dimensões do espaço de partida, do núcleo e da imagem de
Passo 2
O Teorema do Núcleo e Imagem diz que, para toda transformação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
Aqui temos
, logo
.
Passo 3
Se
é injetora, então
e, portanto,
Pela relação do Teorema do Núcleo e Imagem,
Como
é subespaço de
de dimensão
, forçosamente
. Isso equivale a dizer que
é sobrejetora.
Resposta
Não. Em
toda transformação linear injetora é também sobrejetora, por causa do Teorema do Núcleo e Imagem.