É possível ter uma transformação linear T: K^n longrightarrow K^n que seja injetora e não sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
Tcolon K^nto K^n
que seja injetora mas não sobrejetora.
O conteúdo chave é o Teorema do Núcleo e Imagem (também chamado Teorema da Dimensão ou Teorema da Riqueza), que relaciona as dimensões do espaço de partida, do núcleo e da imagem de T.

Passo 2

O Teorema do Núcleo e Imagem diz que, para toda transformação linear
Tcolon Vto W entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
dim V ;=;dimker T;+;dimImT
Aqui temos V = W = K^n, logo dim V = n.

Passo 3

Se T é injetora, então ker T = 0 e, portanto,
dimker T = 0
Pela relação do Teorema do Núcleo e Imagem,
n = dimker T + dimImT Longrightarrow n = 0 + dimImT Longrightarrow dimImT = n
Como ImT é subespaço de K^n de dimensão n, forçosamente
ImT = K^n. Isso equivale a dizer que T é sobrejetora.

Resposta

Não. Em K^n toda transformação linear injetora é também sobrejetora, por causa do Teorema do Núcleo e Imagem.

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