Para cada espaço vetorial V, determine se o subconjunto S dado é um subespaço vetorial.
V=R^3 e S=(x, y, z) in R^3 mid x=2 y, z=-y.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^3 e o subconjunto
S=(x,y,z)inR^3mid x=2y,;z=-y
Para verificar que S é subespaço vetorial, basta checar que
  1. S não é vazio (contém o vetor zero),
  2. S é fechado sob soma,
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero está em S. Para (0,0,0) temos
0 = 2cdot 0 e 0 = -0,
logo (0,0,0)in S.

Passo 3

Parametrizamos S. Se (x,y,z)in S, então x=2y e z=-y, ou seja
(x,y,z) = (2y,;y,;-y) = y,(2,1,-1)
Assim
S = ,y(2,1,-1)mid yinR = span(2,1,-1)
Como todo span é subespaço vetorial (fechado em soma e produto escalar), concluímos que S é subespaço.

Resposta

S é um subespaço vetorial de R^3.

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