Determine se o conjunto dado com as operações de soma e produto por escalar especificadas é um espaço vetorial. Caso não seja, especifique quais das 10 propriedades da definição de espaço vetorial não são satisfeitas
O conjunto dos vetores de R^2 da forma (x, y), tais que x <= y, com a soma e produto usuais de R^2.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x,y)inR^2 mid x<= y
com a soma e o produto escalar usuais em R^2. Para ser espaço vetorial, V teria de satisfazer as 10 propriedades clássicas: 1) fechamento em adição, 2) comutatividade da adição, 3) associatividade da adição, 4) existência de elemento neutro aditivo, 5) existência de inverso aditivo, 6) fechamento em multiplicação por escalar, 7) associatividade do produto escalar, 8) identidade escalar, 9) distributividade escalar sobre vetor, 10) distributividade de escalar sobre escalar.

Passo 2

Verificamos as propriedades herdadas da estrutura de R^2 que envolvem somente adição:
– Se (x1,y1),(x2,y2)in V então
x1<= y1, x2<= y2 Longrightarrow x1+x2<= y1+y2,
logo V é fechado em adição.
– A comutatividade e associatividade da soma e a existência de (0,0) como neutro também são preservadas em V.

Passo 3

Agora o inverso aditivo. Seja (x,y)in V. O inverso em R^2 é ( -x,-y). Para que ( -x,-y)in V precisamos de
-x <= -y Long<=ftrightarrow x>= y
Mas em geral em V temos x<= y, o que só coincide com x>= y quando x=y. Portanto a propriedade 5 (inverso aditivo para todo vetor) falha.

Passo 4

Agora a multiplicação por escalar. Para lambda>=0 e (x,y)in V vale
x<= y Longrightarrow lambda x<= lambda y,
mas se lambda<0 a desigualdade se inverte:
x<= y Longrightarrow lambda x>= lambda y,
ou seja lambda(x,y)notin V em geral. Logo a propriedade 6 (fechamento em multiplicação por escalar) também falha.

Passo 5

Como não se satisfaz a existência de inverso aditivo nem o fechamento em multiplicação por escalar, V deixa de ser espaço vetorial. Além disso, sem o fechamento em multiplicação por escalar, falham também as propriedades 7, 9 e 10, que exigem manipular produtos escalares dentro de V.

Resposta

V não é espaço vetorial. As propriedades que não se satisfazem são a 5 (inverso aditivo) e a 6 (fechamento em multiplicação por escalar), implicando também a falha das propriedades 7, 9 e 10.

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