Determine se o conjunto dado com as operações de soma e produto por escalar especificadas é um espaço vetorial. Caso não seja, especifique quais das 10 propriedades da definição de espaço vetorial não são satisfeitas
O conjunto dos vetores de
da forma
, tais que
, com a soma e produto usuais de
.
O conjunto dos vetores de
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a soma e o produto escalar usuais em
. Para ser espaço vetorial,
teria de satisfazer as 10 propriedades clássicas: 1) fechamento em adição, 2) comutatividade da adição, 3) associatividade da adição, 4) existência de elemento neutro aditivo, 5) existência de inverso aditivo, 6) fechamento em multiplicação por escalar, 7) associatividade do produto escalar, 8) identidade escalar, 9) distributividade escalar sobre vetor, 10) distributividade de escalar sobre escalar.
Passo 2
Verificamos as propriedades herdadas da estrutura de
que envolvem somente adição:
– Se então
– Se
logo
é fechado em adição.
– A comutatividade e associatividade da soma e a existência de como neutro também são preservadas em
.
– A comutatividade e associatividade da soma e a existência de
Passo 3
Agora o inverso aditivo. Seja
. O inverso em
é
. Para que
precisamos de
Mas em geral em
temos
, o que só coincide com
quando
. Portanto a propriedade 5 (inverso aditivo para todo vetor) falha.
Passo 4
Agora a multiplicação por escalar. Para
e
vale
mas se
a desigualdade se inverte:
ou seja
em geral. Logo a propriedade 6 (fechamento em multiplicação por escalar) também falha.
Passo 5
Como não se satisfaz a existência de inverso aditivo nem o fechamento em multiplicação por escalar,
deixa de ser espaço vetorial. Além disso, sem o fechamento em multiplicação por escalar, falham também as propriedades 7, 9 e 10, que exigem manipular produtos escalares dentro de
.