Para cada espaço vetorial V, determine se o subconjunto S dado é um subespaço vetorial.
V=R^3 e S=(x, y, z) in R^3 mid z=x+y+1.

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial V = R^3 e o subconjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid z = x + y + 1
Para decidir se S é subespaço vetorial, usamos os critérios:
  1. S não pode ser vazio (deve conter o vetor zero).
  2. S deve ser fechado sob adição.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Testamos o vetor zero (0,0,0). Para estar em S, ele precisaria satisfazer
z = x + y + 1 Longrightarrow 0 = 0 + 0 + 1 = 1,
o que é falso. Logo (0,0,0)notin S, falhando já o critério de conter o vetor zero.

Passo 3

Podemos ainda checar a falta de fechamento sob adição. Seja
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)in S
com z1 = x1+y1+1 e z2 = x2+y2+1. Então
u+v = l(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2r)
e
z1+z2 = (x1+y1+1)+(x2+y2+1) = (x1+x2)+(y1+y2)+2,
que não coincide em geral com (x1+x2)+(y1+y2)+1. Assim u+vnotin S.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^3.

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