Para cada espaço vetorial V, determine se o subconjunto S dado é um subespaço vetorial.
V=M2 times 2(R) e S=[lla & b c & d] in M2 times 2(R) rvert, d=2 a ; c=b.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
S = lA=a & b c & din M2times2(R) mid d=2a,;c=br
é um subespaço vetorial de V=M2times2(R).
O conteúdo é o teste de subespaço: verificar que S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula
O = 0 & 0 0 & 0
satisfaz as condições d=2a (pois 0=2cdot0) e c=b (pois 0=0). Logo, Oin S, então Sneqvarnothing.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
A1=a1 & b1 c1 & d1, A2=a2 & b2 c2 & d2
em S. Então di=2ai e ci=bi para i=1,2. Sua soma é
A1+A2 =a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2 =a1+a2 & b1+b2 b1+b2 & 2a1+2a2
Note que c1+c2=b1+b2 e d1+d2=2(a1+a2). Logo A1+A2in S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja lambdainR e
A=a & b c & din S
Então d=2a e c=b. Temos
lambda A =lambda a & lambda b lambda c & lambda d =lambda a & lambda b lambda b & 2lambda a,
onde de fato lambda c=lambda b e lambda d=2(lambda a). Logo lambda Ain S.

Resposta

S é subespaço vetorial de M2times2(R).

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