Determine se o conjunto dado com as operações de soma e produto por escalar especificadas é um espaço vetorial. Caso não seja, especifique quais das 10 propriedades da definição de espaço vetorial não são satisfeitas
O conjunto das matrizes
da forma
tais que
, e com as operações de suma e produto por escalar usuais.
O conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
com as operações usuais de soma e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
Para isso, vamos checar as dez propriedades de espaço vetorial: fechamento sob adição, existência de elemento neutro, inverso aditivo, comutatividade e associatividade da adição, fechamento sob escalar \cdot vetor, uni-dade escalar, compatibilidade de escalares e as duas leis distributivas.
Para isso, vamos checar as dez propriedades de espaço vetorial: fechamento sob adição, existência de elemento neutro, inverso aditivo, comutatividade e associatividade da adição, fechamento sob escalar \cdot vetor, uni-dade escalar, compatibilidade de escalares e as duas leis distributivas.
Passo 2
Verificações rápidas que dão certo
-
é o elemento neutro da adição, e pois em vale . - Se
, então satisfaz , logo o inverso aditivo existe em . - Para todo escalar
e com , tem-se logo . - As demais propriedades (associatividade e comutatividade da soma, leis distributivas, compatibilidade de escalares, elemento neutro da multiplicação escalar) decorrem das propriedades válidas em
.
Passo 3
Fechamento sob adição
Para ser espaço vetorial, todo par devia satisfazer
. Mas tome
Para ser espaço vetorial, todo par
Em
temos
e em
temos
, logo
. Porém
então
.
Portanto a propriedade de fechamento sob adição (um dos
axiomas) falha.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial porque não satisfaz a propriedade de fechamento sob adição: existem
tais que
.