Determine se o conjunto dado com as operações de soma e produto por escalar especificadas é um espaço vetorial. Caso não seja, especifique quais das 10 propriedades da definição de espaço vetorial não são satisfeitas
O conjunto das matrizes 2 times 2 da forma
[ll a & b c & d ]
tais que a d=0, e com as operações de suma e produto por escalar usuais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = l,M = a & b c & din M2times2(R)mid a,d=0r
com as operações usuais de soma e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
Para isso, vamos checar as dez propriedades de espaço vetorial: fechamento sob adição, existência de elemento neutro, inverso aditivo, comutatividade e associatividade da adição, fechamento sob escalar \cdot vetor, uni-dade escalar, compatibilidade de escalares e as duas leis distributivas.

Passo 2

Verificações rápidas que dão certo
  • 0 é o elemento neutro da adição, e 0in V pois em 0=0&00&0 vale 0cdot0=0.
  • Se Min V, então -M satisfaz l(-ar)l(-dr)=a,d=0, logo o inverso aditivo existe em V.
  • Para todo escalar lambda e Min V com a,d=0, tem-se l(lambda Mr)11,l(lambda Mr)22 =(lambda a),(lambda d)=lambda^2,(a,d)=0, logo lambda Min V.
  • As demais propriedades (associatividade e comutatividade da soma, leis distributivas, compatibilidade de escalares, elemento neutro da multiplicação escalar) decorrem das propriedades válidas em M2times2( R).

Passo 3

Fechamento sob adição
Para ser espaço vetorial, todo par M,Nin V devia satisfazer (M+N)in V. Mas tome
M = 1&00&0, N = 0&00&1
Em M temos 1cdot0=0 e em N temos 0cdot1=0, logo M,Nin V. Porém
M+N = 1&00&1 Longrightarrow 1cdot1=1neq0,
então M+Nnotin V.
Portanto a propriedade de fechamento sob adição (um dos 10 axiomas) falha.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial porque não satisfaz a propriedade de fechamento sob adição: existem M,Nin V tais que M+Nnotin V.

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